Nội dung bài viết gồm 2 phần:
Ôn tập lý thuyết
Hướng dẫn giải bài tập sgk
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Hàm số liên tục tại một điểm
ĐỊNH NGHĨA 1:
Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng K và $x_{0}\in K$
Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục tại $x_{0}$nếu \(\underset{n\rightarrow x_{0}}{lim }f(x)= f(x_{0})\)
Hàm số $y=f(x)$ không liên tục tại điểm $x_{0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
II. Hàm số liên tục trên một khoảng
ĐỊNH NGHĨA 2
- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên một đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và
\(\underset{n\rightarrow a^{+}}{lim }f(x)= f(a),\underset{n\rightarrow b^{-}}{lim }f(x)= f(b) \)
III. Một số định lí cơ bản
ĐỊNH LÍ 1
a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$
b. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên tưng khoảng của tập xác định của chúng.
ĐỊNH LÍ 2
Giả sử $y=f(x)$và $y=g(x)$là hai hàm số liên tục tại điểm $x_{0}$. Khi đó:
a. Các hàm số $y=f(x)+g(x), y=f(x)-g(x), y=f(x).g(x)$liên tục tại $x_{0}$
b. Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$liên tục tại $x_{0}$nếu $g(x_{0})\neq 0$
ĐỊNH LÍ 3
Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn [a; b] và $f(a)f(b)<0$thì tồn tại ít nhất một điểm $c\in \left [ a;b \right ]$sao cho $f(c)=0$
Bài tập & Lời giải
Câu 1: trang 140 sgk toán Đại số và giải tích 11
Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số $f(x)=x^3+2x-1$tại $x_0=3$
Xem lời giải
Câu 2: trang 141 sgk toán Đại số và giải tích 11
a. Xét tính liên tục của hàm số \(y = g(x)\) tại \(x_0= 2\), biết
\(g(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{x^{3}-8}{x- 2}; &x\neq 2 \\ 5;& x=2 \end{matrix}\right.\).
b. Trong biểu thức xác định \(g(x)\) ở trên, cần thay số \(5\) bởi số nào để hàm số liên tục tại \(x_0= 2\).
Xem lời giải
Câu 3: trang 141 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hàm số \(f(x) = \left\{\begin{matrix} 3x + 2; & x<-1\\ x^{2}-1 & x \geq -1 \end{matrix}\right.\)
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = f(x)\). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
Xem lời giải
Câu 4: trang 141 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hàm số \(f(x) = \frac{x +1}{x^{2}+x-6}\) và \(g(x) = tanx + sin x\).
Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục.
Xem lời giải
Câu 5: trang 141 sgk toán Đại số và giải tích 11
Ý kiến sau đúng hay sai ?
"Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\) còn hàm số \(y = g(x)\) không liên tục tại \(x_0\) thì
\(y = f(x) + g(x)\) là một hàm số không liên tục tại \(x_0\)"
Xem lời giải
Câu 6: trang 141 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng phương trình:
a) \(2x^3- 6x + 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm;
b) \(cosx = x\) có nghiệm.