Câu 3: trang 141 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hàm số \(f(x) = \left\{\begin{matrix} 3x + 2; & x<-1\\ x^{2}-1 & x \geq -1 \end{matrix}\right.\)
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = f(x)\). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
Bài Làm:
a. Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) là một đường không liền nét mà bị đứt quãng tại \(x_0= -1\).
Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng \((-∞; -1)\) và \((- 1; +∞)\).
b.
- Nếu \(x < -1\): \(f(x) = 3x + 2\) liên tục trên \((-∞; -1)\) (vì đây là hàm đa thức).
- Nếu \(x> -1\): \(f(x) = x^2- 1\) liên tục trên \((-1; +∞)\) (vì đây là hàm đa thức).
- Tại \(x = -1\);
Ta có:
\(\underset{x\rightarrow -1^{-} }{lim }f(x) = \underset{x\rightarrow -1^{-} }{lim }(3x+2)=3.(-1)+2=1\)
\(\underset{x\rightarrow -1^{+} }{lim }f(x) = \underset{x\rightarrow -1^{+} }{lim }(x^2-1)=1^2-1=0\)
Vì \(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} f(x) \neq \underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} f(x)\)
Vậy không tồn tại \(\underset{x\rightarrow -1}{lim} f(x)\).
Vậy hàm số gián đoạn tại \(x_0= -1\).