Nội dung bài học gồm 2 phần:
- Lý thuyết cần biết
- Hướng dẫn giải bài tập SGK
A. Lý thuyết cần biết
1. Giới hạn của \(\frac{sin \,x}{x}\)
ĐỊNH LÍ 1
\(\underset{x\rightarrow 0 }{lim }\frac{sin \,x}{x} = 1\)
2. Đạo hàm của hàm số \(y=sin \,x\)
ĐỊNH LÍ 2
Hàm số $y=sin\,x$có đạo hàm tại mọi $x\in \mathbb{R}$và $(sin\,x)’=cos\,x$
Chú ý : Nếu \(y=sin\,u\)và \(u=u(x)\)thì \((sin\,u)’=u’.cos\,u\)
3. Đạo hàm của hàm số \(y=cos\,x\)
ĐỊNH LÍ 3
Hàm số $y=cos\,x$có đạo hàm tại mọi $x\in \mathbb{R}$và $(cos\,x)’=-sin\,x$
Chú ý : Nếu \(y=cos\,u\)và \(u=u(x)\)thì \((cos\,u)’=-u’.sin\,u\)
4. Đạo hàm của hàm số \(y=tan\,x\)
ĐỊNH LÍ 4
Hàm số \(y=tan\,x\)có đạo hàm tại mọi \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{R}\)và \(\left ( tan\,x \right )'=\frac{1}{cos^2x}\)
Chú ý: Nếu \(y=tan\,u\)và \(u=u(x)\)thì ta có \(\left ( tan\,u \right )'=\frac{u’}{cos^2u}\)
5. Đạo hàm của hàm số \(y=cot\,x\)
ĐỊNH LÍ 5
Hàm số \(y=tan\,x\)có đạo hàm tại mọi \(x\neq k\pi, k\in \mathbb{R}\)và \(\left ( cot\,x \right )'=-\frac{1}{sin^2x}\)
Chú ý: Nếu \(y=cot\,u\)và \(u=u(x)\)thì ta có \(\left ( cot\,u \right )'=-\frac{u’}{sin^2u}\)
BẢNG ĐẠO HÀM
| \((x^n)’=nx^{n-1}\) | \((u^n)’=nu^{n-1}.u’\) |
| \(\left ( \frac{1}{x} \right )’=-\frac{1}{x^2}\) | \(\left ( \frac{1}{u} \right )’=-\frac{u’}{u^2}\) |
| \((\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \((\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}\) |
| \((sin\,x)’=cos\,x\) | \((sin\,u)’=u’.cos\,u\) |
| \((cos\,x)’=-sin\,x\) | \((cos\,u)’=-u’.sin\,u\) |
| \(\left ( tan\,x \right )'=\frac{1}{cos^2x}\) | \(\left ( tan\,u \right )'=\frac{u’}{cos^2u}\) |
| \(\left ( cot\,x \right )'=-\frac{1}{sin^2x}\) | \(\left ( cot\,u \right )'=-\frac{u’}{sin^2u}\) |
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1: trang 168 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{x-1}{5x-2}\)
b) \(y = \frac{2x+3}{7-3x}\)
c) \(y = \frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\)
d) \(y = \frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\)
Xem lời giải
Câu 2: trang 168 sgk toán Đại số và giải tích 11
Giải các bất phương trình sau:
a) \(y'<0\) với \({{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\)
b) \(y'≥0\) với \(y = \frac{x^{2}+3}{x+1}\)
c) \(y'>0\) với \(y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\)
Xem lời giải
Câu 3: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 5sinx -3cosx\)
b) \( y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\)
c) \(y = x cotx\)
d) \(y = \frac{sinx}{x}+\frac{x}{sinx}\)
e) \(y = \sqrt{(1 +2tan x)}\)
f) \(y = sin\sqrt{(1 +x^2)}\)
Xem lời giải
Câu 4: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \left( {9 - 2x} \right)(2{x^3} - 9{x^2} + 1)\)
b) \(y = \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)\)
c) \(y = (x -2)\sqrt{(x^2+1)}\)
d) \(y = tan^2x +cotx^2\)
e) \(y = cos\frac{x}{1+x}\)
Xem lời giải
Câu 5: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính \( \frac{f'(1)}{\varphi '(1)}\), biết rằng \(f(x) = x^2\) và \(φ(x) = 4x +sin \frac{\pi x}{2}\)
Xem lời giải
Câu 6: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):
a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\)
b) \({\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) + {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )+{\cos ^2} \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\)
Xem lời giải
Câu 7: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:
a) \(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\)
b) \(f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )\)
Xem lời giải
Câu 8: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\), biết rằng:
a) \(f(x) = x^3+ x - \sqrt2\,g(x) = 3x^2+ x + \sqrt2\)
b) \(f(x) = 2x^3- x^2+ \sqrt3,g(x) = x^3+ \frac{x^{2}}{2} - \sqrt 3\)