- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
A. LÝ THUYẾT
I. Hoán vị
1. Định nghĩa
- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
- Nhận xét:
- Hai hoán vị chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
- Chẳng hạn, hoán vị abc và acb của ba phần tử a, b, c là khác nhau.
2. Số hoán hoán vị
- Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (n ≥ 1) được kí hiệu là Pn và bằng:
| Pn = n(n - 1)(n - 2)...2 . 1 = n! |
II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa
- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Chú ý:
- Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
2. Số các chỉnh hợp
- Định lí: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Akn .
| Akn = n(n – 1)…(n – k + 1) |
- Chú ý :
- Với quy ước 0! = 1, ta có
| $A_{k}^{n}=\frac{n!}{(n - k)!} , 1\leq k\leq n$ |
- Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
| $P_n = A_{n}^{n}$ |
III. Tổ hợp
1. Định nghĩa
- Giả sử tập A có n phân tử ( n ≥ 1). Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Chú ý:
- Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, số tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử.
2. Số các tổ hợp
- Định lí : Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Ckn .
| $C_{k}^{n}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$ |
3. Tính chất của Ckn
- Với mọi n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n, ta có:
- Tính chất 1
| $C_{n}^{k}= C_{n}^{n-k}$ |
- Tính chất 2
| $C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}= C_{n}^{k}$ |
Bài tập & Lời giải
Câu 1: Trang 54 - sgk đại số và giải tích 11
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu số ?
b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ?
c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000 ?
Xem lời giải
Câu 2: Trang 54 - sgk đại số và giải tích 11
Có bao nhiêu cách để sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy ?
Xem lời giải
Câu 3: Trang 54 - sgk đại số và giải tích 11
Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông) ?
Xem lời giải
Câu 4: Trang 54 - sgk đại số và giải tích 11
Có bao cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ?
Xem lời giải
Câu 5: Trang 54 - sgk đại số và giải tích 11
Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:
a) Các bông hoa khác nhau ?
b) Các bông hoa như nhau ?
Xem lời giải
Câu 6: Trang 54 - sgk đại số và giải tích 11
Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho ?
Xem lời giải
Câu 7: Trang 55 - sgk đại số và giải tích 11
Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thằng song song đó ?