Câu 5: trang 133 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hàm số \(f(x) = \frac{x+2}{x^{2}-9}\) có đồ thị như trên hình 53.
a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞\), \(x → 3^-\) và \(x → -3^+\)
b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-\infty; -3)\),
\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3,3)\),
\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\).
Bài Làm:
a) Quan sát đồ thị ta thấy \(x → -∞\) thì \(f(x) → 0\)
Khi \(x → 3^-\) thì \(f(x) → -∞\);
Khi \(x → -3^+\) thì \(f(x) → +∞\).
b) \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -\infty }{lim} \frac{x+2}{x^{2}-9}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim} \frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}{1-\frac{9}{x^{2}}} = 0\).
Vì \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim} \frac{x+2}{x+3}=\frac{3+2}{3+3}=\frac{5}{6} > 0\) và \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} \frac{1}{x-3} = -∞\).
\(\Rightarrow \underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim} \frac{x+2}{x^{2}-9} = \underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim} \frac{x+2}{x+3}.\frac{1}{x-3} = -∞ \)
Vì \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} \frac{x+2}{x-3}=\frac{-3+2}{-3-3}= \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} > 0\) và \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} \frac{1}{x+3} = +∞\).
\(\Rightarrow \underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f(x) =\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} \frac{x+2}{x^{2}-9} = \underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} \frac{x+2}{x-3} . \frac{1}{x+3} = +∞\)
