Câu 6: trang 133 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính:
\(\eqalign{
& a)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^4} - {x^2} + x - 1) \cr
& b)\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} + 3{x^2} - 5) \cr
& c)\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\sqrt {{x^2} - 2x + 5}) \cr
& d)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + 1} + x} \over {5 - 2x}} \cr} \)
Bài Làm:
a)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^4} - {x^2} + x - 1) \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( {1 - {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}} - {1 \over {{x^4}}}} \right) \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}.\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }\left( {1 - {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}} - {1 \over {{x^4}}}} \right) =+ \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}=+\infty \) (giới hạn đặc biệt của hàm số)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }\left( {1 - {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}} - {1 \over {{x^4}}}} \right)=1>0\)
Giá trị $(+)$ nhân $(+)$ sẽ bằng $(+)$
b)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} + 3{x^2} - 5) \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( { - 2 + {1 \over x} - {5 \over {{x^2}}}} \right)\)
\(=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }\left( { - 2 + {1 \over x} - {5 \over {{x^2}}}} \right) = + \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}=-\infty \) (giới hạn đặc biệt của hàm số)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }\left( { - 2 + {1 \over x} - {5 \over {{x^2}}}} \right)=-2<0\)
Giá trị $(-)$ nhân $(-)$ sẽ bằng $(+)$
c)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\sqrt {{x^2} - 2x + 5} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } |x|\sqrt {1 - {2 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} = + \infty \)
d)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + 1} + x} \over {5 - 2x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\left( {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \right)} \over {5 - 2x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\left( {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \right)} \over {{5 \over x} - 2}}\)
\(= {{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }\left( {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \right)} \over {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }{5 \over x} - 2}}\)
\(=\frac{1+1}{-2}= - 1 \)
