I. ĐỊNH NGHĨA
HĐ1:
a) Ta thấy IA = IB.
b) Ta thấy d ⊥ AB nên $I_{1}$ = 90°, $I_{2}$ = 90°.
Kết luận: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.
Ví dụ:
- Đoạn thẳng AB; trung điểm I của đoạn thẳng AB;
- Đường thẳng d vuông góc với AB tại I.
Vì thế, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ví dụ 1 (SGK -tr100)
LT1:
Vì $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$ theo giả thiết
mà $\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^{0}$
=> $\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^{0}$ hay AM ⊥ BC (1)
Có M là trung điểm của BC (2)
Từ (1) và (2) => AM là đường trung trực của BC
II. TÍNH CHẤT
HĐ2:
a) Xét ∆MOA vuông tại O và ∆MOB vuông tại O có:
MO chung.
OA = OB (theo giả thiết).
Do đó ∆MOA = ∆MOB (2 cạnh góc vuông).
b) Do ∆MOA = ∆MOB (2 cạnh góc vuông) nên MA = MB (2 cạnh tương ứng).
Kết luận: Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Ví dụ:
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Lấy điểm M trên đường thẳng d. Ta có MA = MB.
Ví dụ 2 (SGK -tr101)
LT2:
Do O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB = 3 m.
Vậy chiều dài mái nhà bên phải là 3 m.
HĐ3:
a) Xét ∆MOA và ∆MOB có:
MO chung.
OA = OB (theo giả thiết).
MA = MB (theo giả thiết).
Do đó ∆MOA = ∆MOB (c - c - c).
b) Do ∆MOA = ∆MOB (c - c - c) nên OA = OB (2 cạnh tương ứng) và $\widehat{MOA} = \widehat{MOB}$ (2 góc tương ứng).
Do OA = OB và O nằm giữa A và B nên O là trung điểm của AB.
Do $\widehat{MOA} = \widehat{MOB}$ mà $\widehat{MOA} + \widehat{MOB}$ = 180° nên $\widehat{MOA} = \widehat{MOB} = 90^{0}$
Do đó MO ⊥ AB.
Khi đó MO vuông góc với AB tại trung điểm O của AB.
Vậy MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Kết luận: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Ví dụ:
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, M là điểm sao cho MA = MB. Ta có M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
Ví dụ 3 (SGK -tr102)
LT3:
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Do AB = AC nên A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Xét ∆AHB vuông tại H và ∆AHC vuông tại H có:
AB = AC (chứng minh trên).
AH chung.
Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra HB = HC (2 cạnh tương ứng).
Mà H nằm giữa B và C nên H là trung điểm của BC.
Ta có AH vuông góc với BC tại trung điểm H của BC nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
III. VẼ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
HĐ4:
Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB = 3cm.
- Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.
- Bước 2. Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 2 cm
- Bước 3. Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính 2 cm, cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.
- Bước 4. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
