Luyện tập, vận dụng 4: Chứng minh rằng dãy số $(v_{n})$ với $v_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ là một dãy số giảm.
Bài Làm:
Với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$, ta có: $v_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}$.
Xét hiệu: $v_{n+1}-v_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}-\frac{1}{3^{n}}=-\frac{2}{3^{n+1}}< 0$ hay $v_{n+1}< v_{n}$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Vậy dãy số $(v_{n})$ là dãy số giảm.
Trong: Giải toán 11 Cánh diều bài 1 Dãy số
Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định. Số cánh hoa trong các bông hoa thường xuất hiện nhiều theo những con số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Ta có thể viết số cánh hoa của các bông hoa ở các hình trên lần lượt như sau: vị trí thứ nhất viết số 1, vị trí thứ hai viết số 1, vị trí thứ ba viết số 2, ..., vị trí thứ tám viết số 21.
Câu hỏi: Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm nào trong toán học?
Luyện tập, vận dụng 1: Hàm số $u(n)=n^{3}$ xác định trên tập hợp $M=\left \{ 1; 2; 3; 4;5 \right \}$ là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.
Luyện tập, vận dụng 2: Cho dãy số $(u_{n})=n^{2}$.
a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$.
b) Viết dạng khai triển của dãy số $(u_{n})$.
Luyện tập, vận dụng 3: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n-3}{3n+1}$. Tìm $u_{33}, u_{333}$ và viết dãy số dưới dạng khai triển.
Luyện tập, vận dụng 5: Chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+4}$ là bị chặn.
Bài tập 1 trang 47 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát $u_{n}$ cho bởi công thức sau:
a) $u_{n}=2n^{2}+1$;
b) $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2n-1}$;
c) $u_{n}=\frac{2^{n}}{n}$;
d) $u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$.
Bài tập 2 trang 47 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:
a) Gọi $u_{n}$ là số chấm ở hàng thứ $n$ trong Hình 1. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số $(u_{n})$.
b) Gọi $v_{n}$ là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ $n$ trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số $(v_{n})$.
Bài tập 3 trang 48 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số ($u_{n}$), biết:
a) $u_{n}=\frac{n-3}{n+2}$;
b) $u_{n}=\frac{3^{n}}{2^{n}.n!}$;
c) $u_{n}=(-1)^{n}.(2^{n}+1)$.
Bài tập 4 trang 48 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Trong các dãy số ($u_{n}$) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) $u_{n}= n^{2}+2$;
b) $u_{n}=-2n+1$;
c) $u_{n}=\frac{1}{n^{2}+n}$.
Bài tập 5 trang 48 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho dãy số thực dương ($u_{n}$). Chứng minh rằng dãy số ($u_{n}$) là dãy số tăng khi và chỉ khi $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}> 1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Bài tập 6 trang 48 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi $P_{n}$ (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau $n$ tháng.
a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.
b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.
c) Dự đoán công thức của $P_{n}$ tính theo $n$.
Bài tập 6 trang 50 Toán 11 tập 1 Chân trời: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm giá trị của a để
a) $(u_{n})$ là dãy số tăng
b) $(u_{n})$ là dãy số giảm
Hoạt động 1 trang 43 Toán 11 tập 1 CD: Một vật chuyển động đều với vận tốc 20 m/s. Hãy viết các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang.
Hoạt động 2 trang 44 Toán 11 tập 1 CD: Cho hàm số u(n) = $\frac{1}{n}$, n ∈ ℕ*. Hãy viết các số $u_{1}; u_{2}; ...; u_{n}; ... $ theo hàng ngang.
Hoạt động 3 trang 45 Toán 11 tập 1 CD: Xét mỗi dãy số sau:
● Dãy số: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 (1)
● Cho số $\sqrt{2}$ =1,414213562... . Dãy số ($u_{n}$) được xác định bởi: Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, un là số thập phân hữu hạn có phần số nguyên là 1 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng sau dấu “,” của số $\sqrt{2}$ . Cụ thể là: $u_{1} = 1,4; u_{2} = 1,41; u_{3} = 1,414; u_{4} = 1,4142; u_{5} = 1,41421; ...$ (2)
● Dãy số ($u_{n}$) với $(u_{n}) = (– 2)^{n}$ (3)
● Dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi: $u_{1} = 1$ và $u_{n} = u_{n-1} + 2$ với mọi n ≥ 2 (4)
a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của lần lượt các dãy số (1), (2), (3), (4).
b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào.
Hoạt động 4 trang 46 Toán 11 tập 1 CD: Cho dãy số ($u_{n}$) với $u_{n} = n^{2}$. Tính $u_{n+1}$. Từ đó, hãy so sánh $u_{n+1}$ và $u_{n}$ với mọi n ∈ ℕ*.
Hoạt động 5 trang 47 Toán 11 tập 1 CD: Cho dãy số ($u_{n}$) với $u_{n} = 1+\frac{1}{n}$ . Khẳng định $u_{n}$ ≤ 2 với mọi n ∈ ℕ* có đúng không?
Xem thêm các bài Giải toán 11 tập 1 cánh diều được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.
Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 11, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.