Bài 5:
Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = $60^{\circ}$. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB'và CC'.
Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Bài Làm:
Hình vẽ:
Ta có: $\widehat{BOC}$ là góc ở tâm chắn cung BC và $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung BC
$\Rightarrow \widehat{BAC}$ = $\frac{1}{2}$ $\widehat{BOC}$ (định lý về góc nội tiếp và góc ở tâm)
$\Rightarrow \widehat{BOC}$ = $2$ . $\widehat{BAC}$ = $2.60^{\circ}$ (1)
Xét tứ giác AC'HB" có" $\widehat{A}+\widehat{HC'A}+\widehat{HB'A}+\widehat{B'HC'}=360^{\circ}$ (tổng 4 góc trong tứ giác)
$\Rightarrow \widehat{B'HC'}$ = $360^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=120^{\circ}$
mà $\widehat{B'HC'}$ đối đỉnh $\widehat{BHC}$ => $\widehat{BHC}$ = $120^{\circ}$ (2)
Trong $\Delta IBC$:
BI là tia phân giác $\widehat{ABC}$ $\Rightarrow \widehat{CBI}$ = $\frac{1}{2}$ $\widehat{ABC}$
CI là tia phân giác $\widehat{ACB}$ $\Rightarrow \widehat{BCI}$ = $\frac{1}{2}$ $\widehat{ACB}$
$\Rightarrow \widehat{CBI}$ + $\widehat{BCI}$ = $\frac{1}{2}$ ($\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$)
= $\frac{1}{2}$ . $\left(180^{\circ}-\widehat{BAC}\right)$ = $\frac{1}{2}$ . $\left (180^{\circ}-60^{\circ}\right)$
= $60^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{BIC}$ = $180^{\circ}-\widehat{CBI}$ = $180^{\circ}-60^{\circ}$ = $120^{\circ}$ (3)
Từ (1)(2)(3), các điểm O, I, H nằm trên cung chứa góc $120^{\circ}$ dựng trên đoạn BC
Vậy 5 điểm B, C, O, H, I nằm trên cùng 1 đường tròn
