Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF, trực tâm H. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm của các đoạn BC và AH
a. Chứng minh tứ giác BFEC và BFHD nội tiếp
b. Chứng minh DH. DA = DB. DC
c. Chứng minh 5 điểm E, K, F, D, I thuộc một đường tròn
d. Đường thẳng EF cắt BC tại M. Chứng minh
Bài Làm:
Hình vẽ:
a. Xét tứ giác BFEC có:
∠BFC = $90^{0}$ (CF là đường cao)
∠BEC = $90^{0}$ (BE là đường cao)
=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới 2 góc bằng nhau
=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BFHD có:
∠BFH = $90^{0}$ (CF là đường cao)
∠BDH = $90^{0}$ (AD là đường cao)
=> ∠BFH + ∠BDH = 180o
=> Tứ giác BFHD là tứ giác nội tiếp
b. Xét ΔDHC và ΔDBA có:
∠HDC = ∠BDA = 90o
∠DHC = ∠DBA ( cùng bù với góc ∠FHD )
=> ΔDHC ∼ ΔDBA (g.g)
$\Rightarrow \frac{DH}{BD}=\frac{DC}{DA}$ => DH.DA = DC.DB
c) Ta có: ∠KDI = $90^{0}$ (AD là đường cao)
=> D thuộc đường tròn đường kính KI (1)
Tam giác AFH vuông tại F có FK là trung tuyến nên KF = KH
Do đó ΔKFH cân tại K => ∠KFH = ∠KHF
Mà ∠KHF = ∠CHD (đối đỉnh) => ∠KFH = ∠CHD
Tương tự ΔICF cân tại C (do IF = IC) => ∠IFC = ∠ICF
Từ đó: ∠KFI = ∠KFH + ∠IFC = ∠CHD + ∠ICF = $90^{0}$ (ΔDHC vuông tại D)
=> F thuộc đường tròn đường kính KI (2)
Chứng minh tương tự ∠KEI = $90^{0}$ nên E thuộc đường tròn đường kính KI (3)
Từ (1), (2), (3): 5 điểm K, F, D, I, E thuộc đường tròn đường kính KI
d) Xét ΔMFB và ΔMCE có:
$\widehat{EMC}$ là góc chung
$\widehat{MFB}=\widehat{MCE}$ (tứ giác BFEC nội tiếp)
=> ΔMFB ∼ ΔMCE
$\Rightarrow \frac{MF}{MC}=\frac{MB}{ME}$ => MF.ME = MB.MC
Chứng minh tương tự: ME. MF = MD. MI
Từ đó: MB.MC = MD. MI
$\Rightarrow \frac{MD}{MB}=\frac{MC}{MI}\Leftrightarrow \frac{MD}{MD-MB}=\frac{MC}{MC-MI}$
Vậy: $\frac{MD}{BD}=\frac{MC}{IC}$