ĐỀ THI
Bài 1: (1,5 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a. $2x^{2} -3x – 5 =0$
b. $x^{4} – 5x^{2} + 4 = 0$
c. $\left\{\begin{matrix}\frac{2}{x+y}-\frac{1}{x-y}=4& & \\ \frac{3}{x+y}+\frac{2}{x-y}=13& & \end{matrix}\right.$
Bài Làm:
a. $2x^{2} - 3x – 5 = 0$
Δ = 32 - 4 . 2.(-5) = 49 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{-(-3)+\sqrt{49}}{2.2}=\frac{5}{2}& & \\ \frac{-(-3)-\sqrt{49}}{2.2}= -1& & \end{matrix}\right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là $S=\left \{ -1;\frac{5}{2} \right \}$
b. $x^{4} – 5x^{2} + 4 = 0$
Đặt $t = x^{2} (t ≥ 0)$, khi đó phương trình trở thành:
$t^{2} - 5t + 4 = 0$
Phương trình có dạng $a + b +c = 1+ (-5) + 4 = 0$ nên phương trình có 2 nghiệm $t_{1} = 1; t_{2} = 4$
Với $t_{1} = 1$ thì $x^{2} = 1$ ⇔ x = ± 1
Với $t_{1} = 4$ thì $x^{2} = 4$ ⇔ x = ± 2
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1; -1; 2; -2 }
c. $\left\{\begin{matrix}\frac{2}{x+y}-\frac{1}{x -y}=4& & \\ \frac{3}{x+y}+\frac{2}{x -y}=13& & \end{matrix}\right.$
ĐKXĐ: $x \neq \pm y$
Đặt $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=a& & \\ \frac{1}{x -y}=b& & \end{matrix}\right.$ hệ phương trình trở thành:
$\left\{\begin{matrix}2a -b =4& & \\ 3a+ab=13& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4a -2b =8& & \\ 3a+2b=13& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7a=21& & \\ 3a+2b=13& & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 3& & \\ 3a + 2b = 13& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=3& & \\ 2b = 4& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 3& & \\ b = 2& & \end{matrix}\right.$
Khi đó:
$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=3& & \\ \frac{1}{x-y}=2& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+3y=1 & & \\ 2x-2y=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x+6y=2 & & \\ 6x-6y=3 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}12x=5& & \\ 6x -6y =3& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{5}{12}& & \\ 6x -6y=3& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{5}{12}& & \\ y=\frac{-1}{12}& & \end{matrix}\right.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)=\left ( \frac{5}{12};\frac{-1}{12} \right )$