Bài 4: (3,5 điểm)
1. Cho (O; R), dây BC cố định không đi qua tâm O, A là điểm bất kì trên cung lớn BC. Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a. Chứng minh tứ giác HDBF, BCEF nội tiếp
b. K là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh HK đi qua trung điểm của BC
c. Giả sử ∠BAC = $60^{0}$. Chứng minh Δ AHO cân
2. Một hình chữ nhật có chiều dài 3 cm, chiều rộng bằng 2cm, quay hình chữ nhật này một vòng quanh chiều dài của nó được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
Bài Làm:
Hình vẽ:
a. Xét tứ giác BDHF có:
∠BDH = $90^{0}$ (AD là đường cao)
∠BFH = $90^{0}$ (CF là đường cao)
=>∠BDH + ∠BFH = $180^{0}$
=> Tứ giác BDHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BCEF có:
∠BFC = $90^{0}$ (CF là đường cao)
∠BEC = $90^{0}$ (BE là đường cao)
=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông
=> Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp
b. Ta có:
∠KBA) = $90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> KB⊥AB
Mà CH⊥AB (CH là đường cao)
=> KB // CH
Tương tự:
∠KCA) = $90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=>KC⊥AC
BH⊥AC (BH là đường cao)
=> HB // CK
Xét tứ giác BKCF có:
KB // CH
HB // CK
=> Tứ giác BKCH là hình bình hành
=> Hai đường chéo BC và KH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
=> HK đi qua trung điểm của BC
c. Gọi M là trung điểm của BC
Xét tam giác AHK có:
O là trung điểm của AK
M là trung điểm của BC
=> OM là đường trung bình của tam giác AHK
=> OM = $\frac{1}{2}$AH (1)
ΔBOC cân tại O có OM là trung tuyến
=> OM là tia phân giác của ∠BOC
=> ∠MOC = ∠BAC = 60o (= $\frac{1}{2}$ ∠BOC )
Xét tam giác MOC vuông tại M có:
OM = OC.cos(MOC) = OC.cos$60^{0}$= $\frac{1}{2}$ OC = $\frac{1}{2}$ OA (2)
Từ (1) và (2) => OA = AH => ΔOAH cân tại A
2.
Quay hình chữ nhật vòng quanh chiều dài được một hình trụ có bán kính đáy là R= 2 cm, chiều cao là h = 3 cm
Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là
$S_{tp} = 2πR^{2} + 2πRh = 2π^{22} + 2π.2.3 = 20π (cm^{2})$