Câu 3: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:
a) 3n > 3n + 1;
b) 2n + 1 > 2n + 3
Bài Làm:
a) Với n = 2 ta thấy bất đẳng thức đúng
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, hay 3k > 3k + 1 (*)
Nhân hai vế của (*) với 3, ta được:
3k + 1 > 9k + 3 <=> 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.
Vì 6k - 1 > 0 => 3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.
=> bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
b) Ta thấy với n = 2 thì bất đẳng thức đúng
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2 hay 2k + 1 > 2k + 3 (**)
Nhân hai vế của bất đẳng thức (**) với 2, ta được:
2k + 2 > 4k + 6 <=> 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.
Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5
Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
