Câu 1: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với n Є N*, ta có đẳng thức:
a) 2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 = \( \frac{n(3n+1)}{2}\);
b) \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}\);
c) 12 + 22 + 32 +….+ n2 = \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
Bài Làm:
a) Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1,
Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = \( \frac{k(3k+1)}{2}\)
Xét với n = k + 1, ta có:
Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) = \( \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\)
Sk+1 = Sk + 3k + 2 = \( \frac{k(3k+1)}{2}\) + 3k + 2 = \( \frac{3k^{2}+k+6k+4}{2}\)
\(=\frac{3(k^{2}+2k+1)+k+1}{2} = \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\) (đpcm)
Theo phương pháp quy nạp => hệ thức đúng với mọi n Є N*
b) Với n = 1, 2 về của hệ thức bằng nhau.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử n = k ≥ 1, tức là \( S_{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{k}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}\)
Xét với n = k + 1 ta có
\( S_{k+1}=S_{k}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}\)
= \( \frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\) (đpcm)
=>hệ thức b) đúng với mọi n ε N*
c) Với n = 1, vế trái bằng về phải. Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, hay
Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 = \( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)
Xét n = k + 1 ta có
Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = \( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}\) = (k + 1).\( \frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}\) = (k + 1)\( \frac{2k^{2}+k+6k+6}{6}\)
\( =\frac{(k+1)(2k(k+2)+3)+3(k+2)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\) (đpcm)
=>hệ thức c) đúng với mọi n ε N*
