Bài 2: (2,0 điểm)
1. Cho Phương trình: $mx^{2} - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0$ (m là tham số).
a. Xác định m để các nghiệm $x_{1}; x_{2}$ của Phương trình thoả mãn $x_{1} + 4x_{2} = 3$
b. Tìm một hệ thức giữa $x_{1}; x_{2}$ mà không phụ thuộc vào m
2. giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}(x-1)(y-2)+(x+1)(y-3)= 4& & \\ (x-3)(y+1)-(x-3)(y-5)=1& & \end{matrix}\right.$
Bài Làm:
a. Với $m ≠ 0$, phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn $x$
$Δ' = (m + 1)^{2} - m(m - 4) = m^{2} + 2m + 1 - m^{2} + 4m = 6m + 1$
Phương trình có 2 nghiệm $x_{1}; x_{2}$ khi và chỉ khi $Δ' = 6m + 1 ≥ 0$
$\Leftrightarrow m\geq \frac{-1}{6}$
Khi đó, theo định lí Vi-et ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{2(m+1)}{m}& & \\ x_{1}x_{2}=\frac{m-4}{m}& & \end{matrix}\right.$
Theo bài ra:
$x_{1}+4x_{2}=3\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})+ 3x_{2}= 3$
$\frac{2(m+1)}{m}+3x_{2}=3$
$\Leftrightarrow x_{2}=\frac{m-2}{3m}\Rightarrow x_{1}=\frac{2(m+1)}{m}-\frac{m-2}{3m}=\frac{5m+8}{3m}$
$\Rightarrow x_{1}x_{2}=\frac{5m+8}{3m}.\frac{m-2}{3m}=\frac{5m^{2}-2m-16}{9m^{2}}\Rightarrow \frac{5m^{2}-2m-16}{9m^{2}}=\frac{m-4}{m}$
$\Rightarrow 5m^{2}-2m-16=9m^{2}-36m\Leftrightarrow 4m^{2}-34m+16=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m=8& & \\ m=\frac{1}{2}& & \end{matrix}\right.$
Đối chiếu với điều kiện thỏa mãn
Vậy $m = 8$, $m = \frac{1}{2}$ thì $x_{1} + 4x_{2} = 3$
b. Ta có:
$2(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=\frac{4m+4}{m}+\frac{m-4}{m}=5$
Vậy hệ thức liên hệ giữa $x_{1}$ và $x_{2}$ không phụ thuộc vào m là $2(x_{1} + x_{2} ) + x_{1}x_{2} = 5$