Bài tập 5 trang 69 sgk Toán 8 tập 2 CD: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính:
a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;
b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;
c) Độ dài đường phân giác AD.
Bài Làm:
a) Tam giác ABC vuông tại A: $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$
Suy ra: BC = $\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$ = 5
Do AD là đường phân giác của tam giác ABC nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$
Mà DC = BC - DB
Nên $\frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}$ hay $\frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$
Do đó: DB = $\frac{15}{7}$; DC = 5 - $\frac{15}{7}$ = $\frac{20}{7}$
b) Từ D kẻ đường thẳng DE vuông góc với AC. DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AC.
Ta có: DE // AB (cùng vuông góc với AC)
Suy ra: $\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}$ hay $\frac{DE}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$
Do đó: DE = $\frac{12}{7}$.
c) Vì DE // AB nên $\frac{BD}{BC}=\frac{AE}{AC}$ hay $\frac{\frac{15}{7}}{5}=\frac{AE}{4}$
Suy ra: AE = $\frac{12}{7}$.
Tam giác ADE vuông tại E: $AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$.
