I. ĐỊNH NGHĨA
HĐ1
a) Xét ∆AMB có: AA' = MA'; BB' = MB' (gt)
=> A'B' là đường trung bình của ∆AMB
=> A'B' // AB
=> $\widehat{BAM}=\widehat{B'A'M};\widehat{ABM}=\widehat{A'B'M}$
Tương tự ta chứng minh được:
$\widehat{CAM}=\widehat{C'A'M};\widehat{ACM}=\widehat{A'C'M}$
Mà: $\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=\widehat{BAC}$;
$\widehat{B'A'M}+\widehat{C'A'M}=\widehat{B'A'C'}$
Suy ra được: $\widehat{B'A'C'}=\widehat{BAC}$
b) Vì A'B' là đường trung bình ∆ABM
=> $\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$.
Vì A'C' là đường trung bình ∆ACM
=> $\frac{A'C'}{AC}=\frac{1}{2}$
Vì B'M = $\frac{1}{2}$BM; C'M = $\frac{1}{2}$CM, nên $\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$.
Nhận xét: Hai tam giác A’B’C’ và ABC có
- Các góc tương ứng bằng nhau: $\widehat{B'A'C'}=\widehat{BAC};\widehat{C'B'A'}=\widehat{CBA};\widehat{A'C'B'}=\widehat{ACB}$
- Các cạnh tương ứng tỉ lệ: $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$
Ta nói tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC
Định nghĩa: Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:
$\widehat{A'}=\widehat{A};\widehat{B'}=\widehat{B};\widehat{C'}=\widehat{C}$; $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$
Kí hiệu là ∆A'B'C' ∽ ∆ABC
Chú ý: Khi tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC:
- Ta viết A’B’C’ ∽ ABC với các đỉnh được ghi theo thứ tự các góc tương ứng bằng nhau;
- Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$ = k , k gọi là tỉ số đồng dạng
Nhận xét: Nếu ∆A'B'C=∆ABC thì ∆A'B'C' ∽ ∆ABC theo tỉ số đồng dạng là 1.
Ví dụ 1: SGK – tr. 71
Hướng dẫn giải: SGK – tr.71
Ví dụ 2: SGK – tr.71
Hướng dẫn giải: SGK – tr.71
Luyện tập 1
vì ∆A’B’C ∽ ∆ABC
=> $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$
Thay số: $\frac{x}{3}=\frac{3}{2}=\frac{y}{4}$
=> x = 4,5 (đvđd)
y = 6 (đvđd)
Vậy x = 4,5 (đvđd); y = 6 (đvđd)
II. TÍNH CHẤT
HĐ2
a) Có; b) Có; c) Có;
Tính chất
- Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó.
- Nếu ∆A'B'C' ∽ ∆ABC thì ∆ABC ∽ ∆A'B'C'
- Nếu ∆A''B''C'' ∽ ∆A'B'C' và ∆A'B'C' ∽ ∆ABC thì ∆A''B''C'' ∽ ∆ABC.
HĐ3
Hướng dẫn chứng minh: SGK – tr.72
Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Nhận xét: Định lí trên cũng đúng cho trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.
=> ∆AB'C' ∽ ∆ABC.
Ví dụ 3: SGK – tr.72
Hướng dẫn giải: SGK – tr.72
Luyện tập 2
Do B’ là trung điểm của AB
Do C’ là trung điểm của AC
$\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{1}{2}$ (1)
Xét ∆ABC có:
B’ là trung điểm của AB; C’ là trung điểm của AC
=> B’C’ là đường trung bình của ABC
=> B’C’ // BC; B’C’ = $\frac{1}{2}$BC (2)
Từ (1), (2) => $\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$
Xét ∆AB’C’ và ∆ABC có :
$\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$
$\widehat{AB'C'}=\widehat{ABC}$ (đồng vị); $\widehat{AC'B'}=\widehat{ACB}$ (đồng vị); $\widehat{BAC}$ chung
=> ∆AB’C’ ∽ ∆ABC
Ví dụ 4: SGK – tr.73
Hướng dẫn giải: SGK – tr.73