1. Cho hình vẽ bên, $\Delta $NOM = $\Delta $QOP và các cạnh có số đo ghi trên hình vẽ. Tính các cạnh còn lại của 2 tam giác. Chứng minh rằng MN // PQ.
2. Cho góc nhọn $\widehat{xOy}$, trên Ox và Oy lấy điểm A và B sao cho OA = OB. Vẽ hai đường tròn tâm A và tâm B có cùng độ dài bán kính (bán kính nhỏ hơn OA) chúng cắt nhai tại hai điểm E và F. Chứng minh rằng:
a) $\Delta $OEA = $\Delta $OEB; $\Delta $OFA = $\Delta $OFB
b) Ba điểm O, E, F thẳng hàng
c) FO là tia phân giác của góc $\widehat{AFB}$
3. Cho $\Delta $ABC. Lấy điểm B làm tâm vẽ đường tròn (B; AC). Lấy điểm C làm trâm vẽ đường tròn (C; AB). Hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm E và F thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là BC
a) Chứng minh các tam giác $\Delta $ABC = $\Delta $ECB = $\Delta $FCB
b) Chứng minh AB // CF, AC // BF
c) Chứng minh $\Delta $ABE = $\Delta $ECA
4. Cho $\Delta $ABC có AB = AC và H là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh AH vuông góc với BC.
Bài Làm:
1.
$\Delta $NOM = $\Delta $QOP $\Rightarrow $ OM = OP = 2cm ; OQ = ON 3cm; PQ = MN = 2,5cm
$\Delta $NOM = $\Delta $QOP $\Rightarrow $ $\widehat{MNO}=\widehat{PQO}$. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // PQ
2.
Do độ dài bán kính bằng $\frac{1}{2}OA$ nên E và F nằm trong góc $\widehat{xOy}$.
a) Xét $\Delta $OEA và $\Delta $OEB có:
- OE chung
- OA = OB (giả thiết)
- AE = BE (E thuộc đường tròn tâm A và B có bán kính bằng nhau)
$\Rightarrow $ $\Delta $OEA = $\Delta $OEB (c.c.c)
Xét $\Delta $OFA và $\Delta $OFBcó:
- OF chung
- OA = OB (giả thiết)
- AF = BF (F thuộc đường tròn tâm A và B có bán kính bằng nhau)
$\Rightarrow $ $\Delta $OFA = $\Delta $OFBcó: (c.c.c)
b)
$\Delta $OEA = $\Delta $OEB $\Rightarrow \widehat{EOA}=\widehat{EOB}$ (hai góc tương ứng)
Do đó OE là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}$ (1)
$\Delta $OFA = $\Delta $OFB $\Rightarrow \widehat{AOF}=\widehat{BOF}$ (hai góc tương ứng)
Do đó OF là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra OE và OF trùng nhau, hay O, E, F thẳng hàng
c)
$\Delta $OFA = $\Delta $OFB $\Rightarrow \widehat{AFO}=\widehat{BFO}$ (hai góc tương ứng)
Do đó OF là tia phân giác của góc $\widehat{AFB}$
3.
a) Xét $\Delta $ABC và $\Delta $ECB có:
- BC chung
- AC = BE (E thuộc đường tròn (B; AC))
- AB = CE (E thuộc đường tròn (C; AB))
Vậy $\Delta $ABC = $\Delta $ECB (c.c.c) (1)
Xét $\Delta $ECB và $\Delta $FCB có:
- BC chung
- CE = CF
- BF = BF (cùng bán kính)
Vậy $\Delta $ECB = $\Delta $FCB (c.c.c) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\Delta $ABC = $\Delta $ECB = $\Delta $FCB
b) Ta có: $\Delta $ABC = $\Delta $FCB $\Rightarrow \widehat{C_{1}}=\widehat{B_{1}}$ và $\widehat{C_{2}}=\widehat{B_{2}}$
Có: $\widehat{C_{1}}=\widehat{B_{1}}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AC, BF cắt bởi BC nên AC // BF
$\widehat{C_{2}}=\widehat{B_{2}}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AB, CF cắt bởi BC nên AC // BF
c) Xét $\Delta $ABE và $\Delta $ECA có:
- chung AE
- AB = EC
- BE = AC
$\Rightarrow $ $\Delta $ABE = $\Delta $ECA
4.
Xét $\Delta $ABH và $\Delta $ACH có:
- AH chung
- AB = AC (giả thiết)
- BH = HC (H là trung điểm của BC)
$\Rightarrow $ $\Delta $ABH = $\Delta $ACH (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^{\circ}$
Do đó AH $\perp $ BC