5. Cho góc $\widehat{xOy}$ trên Ox lấy 2 điểm A và B. Trên Oy lấy 2 điểm C và D sao cho OA = OC; OB = OD. Nối A với D, C với B chúng cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:
a) $\Delta $OCB = $\Delta $OAD
b) $\Delta $DAB = $\Delta $BCD
6. Cho $\Delta $ABC có góc $\widehat{A}=90^{\circ}$. M là trung điểm của cạnh AB. Nối CM và trên tia đối của tia MC lấy MH = MC. Chứng minh rằng HB $\perp $ BA
7. Cho điểm M trên đoạn thẳng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ có chứa đoạn thẳng AB, kẻ tia Mx sao cho $\widehat{AMx}=60^{\circ}$ và tia My sao cho góc $\widehat{BMx}=60^{\circ}$. Trên tia Mx lấy điểm C sao cho MC = MA; trên tia My lấy điểm D sao cho MD = MB
a) Chứng mminh AD = CB
b) Lấy E là trung điểm của AD; F là trung điểm của CB. Chứng minh $\widehat{EMF}=60^{\circ}$
8. Cho $\Delta $ABC ($\widehat{A}<90^{\circ}$). Tại A kẻ Ax $\perp $ AC, trên Ax lấy điểm M sao cho AM = AC (M và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ có chứa tia AC). Tại A kẻ Ay $\perp $ AB trên Ay lấy điểm Nsao cho AN = AB (N và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ có chứa tia AB). Chứng minh rằng:
a) $\Delta $ABM = $\Delta $ANC
b) BM = CN
c) BM $\perp $ CN
9. Cho 3 đường thẳng xx', yy' , zz' đồng quy tại O. Trên các tia Ox, Oy, Oz lấy các điểm tương ứng A, B, C. Trên các tia Ox', Oy', Oz' lấy các điểm tương ứng A', B', C' sao cho OA = OA', OB = OB', OC = OC'. Chứng minh rằng:
a) $\Delta $OAB = $\Delta $A'OB'; $\Delta $AOC = $\Delta $A'OC'; $\Delta $BOC = $\Delta $B'OC'; $\Delta $ABC = $\Delta $A'B'C'
b) $\Delta $ABC có các cạnh song song với các cạnh tương ứng của $\Delta $A'B'C'
Bài Làm:
5.
a) Xét $\Delta $OCB và $\Delta $OAD có:
- OA = OC (giả thiết)
- OB = OD (giả thiết)
- $\widehat{xOy}$ chung
$\Rightarrow $ $\Delta $OCB = $\Delta $OAD (c.g.c)
b) $\Delta $OCB = $\Delta $OAD
$\Rightarrow $ AD = CB; $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$
Mà $\widehat{OAD}+\widehat{BAD}=\widehat{DCB}+\widehat{OCB}$
$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DCB}$
Có: OB = OD; OA = OC $\Rightarrow $ OB - OA = OD - OC $\Rightarrow $ AB = CD
Xét $\Delta $DAB và $\Delta $BCD có:
- AB = CD
- AD = CB
- $\widehat{BAD}=\widehat{DCB}$
$\Rightarrow $ $\Delta $DAB = $\Delta $BCD (c.g.c)
6.
Xét $\Delta $AMC và $\Delta $BMH có;
- MA = MB (M là trung điểm của AB)
- $\widehat{AMC}=\widehat{BMH}$ (hai góc đối đỉnh)
- MC = MH
$\Rightarrow $ $\Delta $AMC = $\Delta $BMH (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{CAM} = \widehat{HBM}$
Mà $\widehat{MAC}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{HBM}=90^{\circ}$
$\Rightarrow HB\perp BM$
7.
a) Có: $\widehat{AMD}=\widehat{CMD}+60^{\circ}$
$\widehat{CMB}=\widehat{CMD}+60^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{AMD}=\widehat{CMB}$
Xét $\Delta $AMD và $\Delta $CMB có:
- AM = MC
- $\widehat{AMD}=\widehat{CMB}$
- MD = MB
$\Rightarrow $ $\Delta $AMD = $\Delta $CMB (c.g.c)
Suy ra AD = CB
b) AD = CB $\Rightarrow \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}CB$ hay DE = BF
Xét $\Delta $EDM và $\Delta $FBM có:
- DE = BF
- $\widehat{EDM}=\widehat{FBM}$
- DM = BM
$\Rightarrow $ $\Delta $EDM = $\Delta $FBM (c.g.c)
Suy ra $\widehat{EMD}=\widehat{FMB}$
Mà $\widehat{FMB}+\widehat{FMD}=60^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{EMD}+\widehat{FMD}=60^{\circ}$ hay $\widehat{EMF}=60^{\circ}$
8.
a) Có $\widehat{BAM}=\widehat{A}+90^{\circ}$
$\widehat{NAC}=\widehat{A}+90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{NAC}$
Xét $\Delta $ABM và $\Delta $ANC có:
- AM = AC
- $\widehat{BAM}=\widehat{NAC}$
- AB = AN
$\Rightarrow $ $\Delta $ABM = $\Delta $ANC (c.g.c)
b) Theo câu a ta có: $\Delta $ABM = $\Delta $ANC
$\Rightarrow $ BM = NC (hai cạnh tương ứng)
c) CN cắt AB tại E và cắt BM tại F
$\Delta $ABM = $\Delta $ANC $\Rightarrow \widehat{ANE}=\widehat{ABF}$
Mà: $\widehat{NEA}=\widehat{BEF}$
$\widehat{NEA} + \widehat{EAN}+\widehat{ANE}=180^{\circ}$
$\widehat{BEF} + \widehat{EFB}+\widehat{FBE}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{EAN}=\widehat{EFB}=90^{\circ}$. Hay EF $\perp $BF
Vậy BM $\perp $ NC
9.
a) Xét $\Delta $AOB và $\Delta $A'OB' có:
- OA = OA'
- $\widehat{AOB}=\widehat{A'OB'}$
- OB = OB'
$\Rightarrow $ $\Delta $AOB = $\Delta $A'OB' (c.g.c)
Tương tự ta có: $\Delta $AOC = $\Delta $A'OC'; $\Delta $BOC = $\Delta $B'OC'
$\Delta $AOB = $\Delta $A'OB' $\Rightarrow $ AB = A'B'
$\Delta $AOC = $\Delta $A'OC' $\Rightarrow $ AC = A'C'
$\Delta $BOC = $\Delta $B'OC' $\Rightarrow $ BC = B'C'
Từ đó ta được $\Delta $ABC = $\Delta $A'B'C' (c.c.c)
b)
$\Delta $AOB = $\Delta $A'OB' $\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{B'A'O}$. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // A'B'
Tương tự ta có AC // A'C'; BC // B'C'
