10. Cho $\Delta $ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}$ (góc A nhọn). Từ B hạ BH $\perp $ AC, từ C hạ CK $\perp $ AB. Chứng minh rằng $BH = CK
11. Cho $\Delta $ABC có đường phân giác của $\widehat{A}$ cắt đường phân giác của $\widehat{B}$ tại O. Từ O hạ OE $\perp $ AB (E thuộc AB); OF $\perp $ AC (F thuộc AC); OI $\perp $ BC (I thuộc BC). Chứng minh rằng OE = OF = OI
12. Cho $\widehat{xOy}$ và điểm M nằm trong góc đó. Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại B và đường thẳng song song với Oy cắt Ox tại A.
a) Chứng minh MA = OB; MB = OA
b) Trên tia đối của tia OA lấy điểm C sao cho AC = AO. Đường thẳng CM cắt Oy tại D. Chứng minh rằng CM = MD.
13. Cho $\Delta $ABC. Từ A kẻ đường thẳng song song với BC. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC. Từ C kẻ đường thẳng song song với AB. Ba đường thẳng này cắt nhau tại A1, B1, C1. Từ A1 kẻ đường thẳng song song với B1C1. Từ B1 kẻ đường thẳng song song với A1C1. Từ C1 kẻ đường thẳng song song với A1B1. Ba đường thẳng này cắt nhau tại A2, B2, C2. Cứ như thế cho đến khi được $\Delta $A10B10C10. So sánh chu vi $\Delta $ABC và chu vi $\Delta $A10B10C10
14. Cho góc $\widehat{xOy}$ nhọn. Trên tia Ox lấy các điểm M, E, P sao cho OM = ME = EP. Trên tia Oy lấy điểm N tùy ý. Từ E và P kẻ các đường thẳng song song với đoạn thẳng MN chúng cắt Oy theo thứ tự tại F và Q. Từ N kẻ NI // Ox (I thuộc EF). Từ F kẻ FK // Ox (K thuộc PQ). Chứng minh rằng: ON = NF = FQ
Bài Làm:
10.
Xét $\Delta $BHC và $\Delta $CKB có:
- $\widehat{H} = \widehat{K}=90^{\circ}$
- BC chung
- $\widehat{B}=\widehat{C}$
$\Rightarrow $ $\Delta $BHC = $\Delta $CKB
$\Rightarrow $ BH = CK (hai cạnh tương ứng)
Vậy BH = CK
11.
Xét $\Delta $EOA và $\Delta $FOA có:
- $\widehat{E}=\widehat{F}=90^{\circ}$
- $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$ (giả thiết)
- OA chung
$\Rightarrow $ $\Delta $EOA = $\Delta $FOA (cạnh huyền, góc nhọn)
$\Rightarrow $ OE = OF (1)
Tương tự ta có $\Delta $EOB = $\Delta $IOB (cạnh huyền, góc nhọn)
$\Rightarrow $ OE = OI (2)
Từ (1) và (2) ta có OE = OF = OI
12.
a) Nối A với B ta có:
AM // OB $\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{ABO}$
OA // BM $\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{OAB}$
Xét $\Delta $OAB và $\Delta $MBA có:
- $\widehat{BAM}=\widehat{ABO}$
- Chung AB
- $\widehat{ABM}=\widehat{OAB}$
$\Rightarrow $ $\Delta $OAB = $\Delta $MBA (g.c.g)
$\Rightarrow $ OA = MB; OB = MA (cạnh tương ứng bằng nhau)
b) Xét $\Delta $AMC và $\Delta $BDM có:
- $\widehat{C_{1}}=\widehat{M_{1}}$ (hai góc đồng vị)
- $\widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$
- AC = MB (vì cùng bằng OA)
$\Rightarrow $ $\Delta $AMC = $\Delta $BDM (g.c.g)
$\Rightarrow $ CM = MD
13.
Ta thấy
+) chu vi $\Delta $A1B1C1 gấp 2 lần chu vi $\Delta $ABC
+) chu vi $\Delta $A2B2C2 gấp 2 lần chu vi $\Delta $A1B1C1 và gấp $2^{2}$ lần chu vi $\Delta $ABC
+) ...
+) chu vi $\Delta $A10B10C10 gấp 2 lần chu vi $\Delta $A9B9C9 và gấp $2^{10}$ lần chu vi $\Delta $ABC
Vậy chu vi $\Delta $A10B10C10 gấp $2^{10}$ lần chu vi $\Delta $ABC
14.
Ta nối MI để chứng minh $\Delta $MEI = $\Delta $INM, từ đó ta được ME = IN
Nối EK, ta chứng minh được $\Delta $EPK = $\Delta $KFE, từ đó ta được EP = FK
Xét $\Delta $ONM ; $\Delta $NFI và $\Delta $FQK, có:
- OM = NI = FK
- $\widehat{N_{1}}=\widehat{F_{1}}=\widehat{Q_{1}}$ (các góc đồng vị)
- $\widehat{O_{1}}=\widehat{N_{2}}=\widehat{F_{2}}$ (các góc đồng vị)
$\Rightarrow $ $\Delta $ONM = $\Delta $NFI = $\Delta $FQK
$\Rightarrow $ ON = NF = FQ
Vậy ON = NF = FQ
