A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Muốn chứng minh một đường thẳng là tia phân giác của một góc:
- Cách 1: (theo định nghĩa) Chứng minh đường thẳng đó đi qua đỉnh và chia góc thành hai góc bằng nhau.
- Cách 2: (theo tính chất) Chứng minh đường thẳng đó đi qua đỉnh của góc và có một điểm nằm trong đó cách đều hai cạnh của góc.
- Cách 3: Chứng minh đường thẳng đó chia góc thành hai góc và có một trong hai góc đó bằng góc đã cho.
- Cách vẽ đường phân của một góc:
Cách 1: (dùng thước đo góc)
- Bước 1: Đo để biết số đo của góc đã cho.
- Bước 2: Từ đỉnh kẻ 1 tia hợp với một cạnh của góc đó một góc có số đo bằng $\frac{1}{2}$ số đo góc đã cho.
Cách 2: (dùng êke)
- Bước 1: Trên hai cạnh của góc $\widehat{xOy}$ lấy hai điểm A và B tùy ý sao cho OA = OB
- Bước 2: Dùng êke kẻ đường vuông góc với cạnh Ox của góc tại A. Dùng êke kẻ đường vuông góc với cạnh Oy của góc tại B. Hai đường vuông góc này cắt nhau tại I.
- Có OI là tia phân giác $\widehat{xOy}$
Cách 3: (dùng compa)
- Bước 1: Lấy O làm tâm vẽ đường tròn (O; R) cắt Ox tại A và Oy tại B.
- Bước 2: Vẽ đường tròn (A; R), đường tròn (B; R) hai đường tròn này cắt nhau tại C. Ta có OC là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$
Ví dụ 1: Cho góc $\widehat{xOy}$ trên Ox lấy điểm A và B. Trên Oy lấy điểm C và D sao cho OA = OC; OB = OD. Từ A và B kẻ An // Oy, Bn' //Oy. Từ C kẻ Cm // Ox, từ D kẻ Dm' // Ox. Biết An và Cm cắt nhau tại E, Bn' cắt Dm' tại F. Chứng minh rằng O, E, F thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Nối OE. Xét $\Delta $OAE và $\Delta $OCE có:
- OE là cạnh chung
- $\widehat{O_{2}}=\widehat{E_{1}}$ (OA // OE)
- $\widehat{O_{1}}=\widehat{E_{2}}$ (OD // AE)
$\Rightarrow $ $\Delta $OAE = $\Delta $OCE (g.c.g)
$\Rightarrow $ AE = CO
Mà OA = OC nên OA = AE. Do đó $\Delta $OAE cân tại A
$\Rightarrow \widehat{O_{1}}=\widehat{E_{1}}$
$\Rightarrow \widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$.
Vậy OE là tia phân giác của $\widehat{xOy}$
- Nối OF tương tự như trên ta có OF là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.
Do đó OE trùng với OF.
B. Bài tập & Lời giải
1. Cho $\Delta $MNP vuông tại P, kẻ tia phân giác MI của góc $\widehat{PMN}$ (I thuộc PN). Từ I kẻ IK $\perp $ PN (K thuộc MN), KH // MI (H thuộc PN). Chứng minh rằng HK là tia phân giác của $\widehat{IKN}$
2. Cho góc $\widehat{xOy}$ là góc tù. Từ O kẻ Ox' $\perp $ Ox sao cho tia Ox' và tia Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là tia Ox. Kẻ Oy' $\perp $ Oy sao cho Oy' và tia Ox thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là tia Oy. Kẻ Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$. Oz' là tia đối của tia Oz. Chứng minh rằng Oz' là tia phân giác của $\widehat{x'Oy'}$
3. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tai O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD.
4. Cho $\Delta $ABC, trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho EB = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho FC = CA. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại P.
a) Chứng minh EA là phân giác của góc $\widehat{PEB}$; FA là tia phân giác của $\widehat{PFC}$
b) Chứng minh PA là phân giác của góc $\widehat{EPF}$
c) PA kéo dài cắt BC tại Q. Chưng minh AQ là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$