Bài tập về tính chất đường phân giác của một góc

1.

$\Delta $MNP vuông tại P nên PM $\perp $ PN; KI $\perp $ PN (theo giả thiết)

$\Rightarrow $ PM // IK $\Rightarrow \widehat{M_{1}}=\widehat{I_{1}}$ (hai góc so le trong)

Lại có MI // KH (giả thiết) $\Rightarrow \widehat{I_{1}}=\widehat{K_{1}}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{M_{1}}=\widehat{K_{1}}$

Mà MI // KH $\Rightarrow \widehat{M_{2}}=\widehat{K_{2}}$ (2 góc đồng vị) và $\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}$

$\Rightarrow \widehat{K_{1}}=\widehat{K_{2}}$

$\Rightarrow $ KH là tia phân giác của góc $\widehat{IKN}$

2. 

Oz và Oz' là hai tia đối nhau nên zz' là đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa

Tia Oz là phân giác của góc $\widehat{xOy}$. Vậy Ox và Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là zz'

Có $\widehat{xOz}<90^{\circ}(\widehat{xOz}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}$ tù)

   $\widehat{x'Ox}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{zOx'} <180^{\circ}$

Vậy $\widehat{zOx'} < \widehat{zOz'}$ nên Ox' nằm giữa hai tia Oz' và Oz.

Vậy Ox và Ox' thuộc cùng nửa mặt phẳng bở là zz'.

Chứng minh tương tự ta có Oy và Oy' thuộc cùng nửa mặt phẳng thứ ba là zz'.

Mặt khác vì: $\widehat{x'Oy'}+\widehat{xOy}+\widehat{x'Ox}+\widehat{y'Oy}=360^{\circ}$

           $\Leftrightarrow \widehat{x'Oy'}+\widehat{xOy}+90^{\circ}+90^{\circ}=360^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{x'Oy'}+\widehat{xOy}=180^{\circ}$

Mà $\widehat{xOy}>90^{\circ}$ nên $\widehat{x'Oy'}<90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{x'Oy'}$ là góc nhọn.

Ta có: $\widehat{x'Oz'}=180^{\circ}-(\widehat{x'Ox}+\widehat{xOz})$

       $\widehat{z'Oy'}=180^{\circ}-(\widehat{y'Oy}+\widehat{yOz})$

Có $\widehat{x'Ox}=\widehat{y'Oy}=90^{\circ}$; $\widehat{xOz}=\widehat{yOz}$ (giả thiết)

$\Rightarrow 180^{\circ}-(\widehat{x'Ox}+\widehat{xOz})=180^{\circ}-(\widehat{y'Oy+\widehat{yOz}})$ 

Hay $\widehat{x'Oz'}=\widehat{z'Oy'}$

Vậy Oz' là tia phân giác của góc $\widehat{x'Oy'}$

3. 

Xét điểm M nằm trong $\widehat{BOD}$ thỏa mãn MI = MK. Tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện cách đều hai cạnh của góc là đường phân giác của $\widehat{BOD}$ (Ox).

Tương tự nếu các điểm M' nằm trong $\widehat{AOC}$ thỏa mãn M'I' = M'K'. Tập hợp các điểm M' là đường phân giác Oy của $\widehat{AOC}$

$\widehat{AOC}$ và $\widehat{BOD}$ là hai góc đối đỉnh, ta có thể chứng minh cho Ox và Oy nằm trên một đường thẳng.

Tương tự như vậy khi M' thuộc góc $\widehat{COB}$ và $\widehat{AOD}$ tập hợp là đường thẳng x'y' là tia phân giác của góc $\widehat{COB}$ và $\widehat{AOD}$

Mặt khác $\widehat{COB}$ và $\widehat{BOD}$ là hai góc kề nhau. Nên ta có thể chứng minh được hai đường phân giác Ox' $\perp $ Ox.

Vậy tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O và hai đường thẳng x'y' $\perp $ xy tại O và x'y' , xy là các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.

4. 

a) Từ AB = BE (giả thiết), nên $\Delta $ABE cân tại B $\Rightarrow \widehat{E_{1}}=\widehat{A_{1}}$

Mà $\widehat{E_{2}}=\widehat{A_{1}}$ (AB // EP)

$\Rightarrow \widehat{E_{1}}=\widehat{E_{2}}$

Vậy EA là tia phân giác của $\widehat{PEB}$

Tương tự xét $\Delta $ACF để suy ra $\widehat{F_{1}}=\widehat{F_{2}}$, từ đó FA là tia phân giá của $\widehat{PFC}$

b) Từ A hạ AI $\perp $ PE; AH $\perp $ BC; AK $\perp $ PE, ta có:

AI = AH (A nằm trên đường phân giác $\widehat{FEB}$)

AK = AH (A nằm trên đường phân giác $\widehat{FFC}$)

$\Rightarrow $ AI = AK. Vậy A nằm trên đường phân giác của $\widehat{EPF}$

c) Kéo dài PA cắt BC tại Q ta có:

$\widehat{P_{1}}=\widehat{BAQ}$ (góc đồng vị tạo bởi AB // PE)

$\widehat{QAC}=\widehat{P_{2}}$ (góc đồng vị tạo bởi AC // PF)

Mà $\widehat{P_{1}}=\widehat{P_{2}}$ nên $\widehat{QAC}=\widehat{BAQ}$.

Vậy AQ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$