A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Trong số tám góc tạo thành nhận ra các cặp so le trong hoặc cặp góc trong đồng vị.
- Từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta có thể chứng minh hai đường thẳng song song bằng hai cách:
Cách 1: Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau
Cách 2: Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau.
- Ý nghĩa của tiên để Ơclít
- Dựa vào tiên đề để chứng tỏ ba điểm thẳng hàng:
Chẳng hạn trong hình dưới, nếu ta chứng tỏ được AE // BC, AF // BC thì kết luận E, A, F thẳng hàng (cùng nằm trên một đường thẳng). Vì theo tiên đề Ơclit qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với BC.
- Dựa theo tiên đề Ơclít ta có thể chứng tỏ hai tia trùng nhau.
Chẳng hạn trong hình dưới đây, nếu ta chứng tỏ được AM // BC và AN // BC thì kết luận hai tia AM và AN trùng nhau. (vì theo tiên đề qua A chỉ kẻ được một tia song song với BC)
- Từ hai dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ở trên ta có thể chứng tỏ thêm các dấu hiệu khác:
Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có:
- Cặp góc sole ngoài bằng nhau.
- Cặp góc trong cùng phía bù nhau
- Cặp góc ngoài cùng phía bù nhau.
Nếu xảy ra một trong ba dấu hiệu trên thì kết luận a // b.
Ví dụ 1: Cho hình dưới, $\widehat{A_{4}}=\widehat{B_{2}}$.
a) Hãy chứng tỏ: $\widehat{A_{1}}=\widehat{B_{3}}$
b) Hãy chứng tỏ: $\widehat{A_{2}}=\widehat{B_{2}}$; $\widehat{A_{3}}=\widehat{B_{3}}$;$\widehat{A_{4}}=\widehat{B_{4}}$; $\widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$
c) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hai góc của các cặp góc đó, từ đó rút ra kết luận gì?
Hướng dẫn:
a) Tại A, ta có $\widehat{A_{1}}; \widehat{A_{4}}$ và $\widehat{B_{2}}; \widehat{B_{3}}$ là hai cặp góc kề bù nhau, nên:
$\widehat{A_{1}}+ \widehat{A_{4}}=180^{\circ}$; $\widehat{B_{2}}+ \widehat{B_{3}}=180^{\circ}$
Mà $\widehat{A_{4}}=\widehat{B_{2}}$ nên suy ra $\widehat{A_{1}}=\widehat{B_{3}}$
b) Ta có:
+) $\widehat{A_{2}}=\widehat{A_{4}}$ (góc đối đỉnh) và $\widehat{B_{2}}=\widehat{A_{4}}$
$\Rightarrow \widehat{A_{2}}=\widehat{B_{2}}$
+) $\widehat{A_{1}}=\widehat{B_{3}}$ và $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{3}}$ (hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \widehat{A_{3}}=\widehat{B_{3}}$
+) $\widehat{B_{4}}=\widehat{B_{2}}$ (hai góc đối đỉnh) và $\widehat{A_{4}}=\widehat{B_{2}}$
$\Rightarrow \widehat{A_{4}}=\widehat{B_{4}}$
+) $\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{3}}$ (hai góc đối đỉnh) và $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{3}}$ (hai góc đối đỉnh) mà $\widehat{A_{3}}=\widehat{B_{3}}$ \widehat{A_{3}}=\widehat{B_{3}}$
$\Rightarrow \widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$
c) Nhận xét: Trong 6 cặp góc bằng nhau có:
- Hai cặp góc là so le trong
b) Bốn cặp góc đồng vị.
Vậy nếu có một cặp góc so le bằng nhau, thì cặp góc so le còn lại cũng bằng nhau và các cặp góc đồng vị bằng nhau.
B. Bài tập & Lời giải
1. a) Trong các câu sau, câu nào đúng?
Đường thẳng a cắt hai đường thẳng x // y lần lượt tại M và N:
A. Hai góc $\widehat{M_{4}}$ và $\widehat{N_{1}}$ bằng nhau.
B. Hai góc $\widehat{M_{2}}$ và $\widehat{N_{2}}$ bằng nhau.
C Hai góc $\widehat{M_{3}}$ và $\widehat{N_{2}}$ bằng nhau.
D. Hai góc $\widehat{M_{1}}$ và $\widehat{N_{3}}$ bằng nhau.
b) Hai đường thẳng a và b có song song với nhau không, nếu có một trong các điều kiện sau được thỏa mãn?
1) $\widehat{B_{2}}=\widehat{A_{6}}$
2) $\widehat{B_{4}}=\widehat{A_{6}}$
3) $\widehat{B_{3}}=\widehat{A_{7}}$
4) $\widehat{B_{4}}+\widehat{A_{5}}=180^{\circ}$
2. Cho $\Delta $ABC, tia phân giác AM của góc $\widehat{BAC}$ (M thuộc BC). Từ M kẻ MP // AB và kẻ MQ // AC (P và Q thuộc AC và AB). Chứng tỏ rằng MA cũng là tia phân giác của góc $\widehat{QMP}$
3. Cho hai đường thẳng xy // x'y', đường thẳng d cắt xy và x'y' tại A và B. Kẻ tia phân giác AA' của $\widehat{xAB}$ cắt x'y' tại A' và tia phân giác BB' của $\widehat{ABy'}$ cắt xy tại B'. Hãy chứng tỏ rằng:
a) AA' // BB'
b) $\widehat{AA'B}=\widehat{AB'B}$
4. Đường thẳng d3 cắt 2 đường thẳng AB // CD tại E và F. Lấy điểm M trên đường thẳng AB. Tại M trên nửa mặt phẳng bờ có chứa các đường thẳng AB, CD vẽ các góc $\widehat{AMN}=\widehat{EFD}=a^{\circ}(0^{\circ}<a^{\circ}<90^{\circ})$ (điểm N thuộc CD). Hãy chứng tỏ: MN // EF