Bài tập về xác định một số có là nghiệm của đa thức hay không

1. Q(x) = $x^{5}+2x^{4}+2x^{3}-2x^{2}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-5$

Ta có: Q(1) = $1^{5}+2.1^{4}+2.1^{3}-2.1^{2}-1^{5}-1^{4}+1^{2}-5$

            = -3 $\neq $ 0

Do đó 1 không là nghiệm của Q(x)

2. x0 là một nghiệm của P(x) = ax + b (a và b đều khác 0) nên ax0 + b = 0 $\Leftrightarrow \frac{b}{x_{0}}+a=0$

Xét Q(x) = bx + a

    Q($\frac{1}{x_{0}})=\frac{b}{x_{0}}+a=0$

Do đó $\frac{1}{x_{0}}$ là một nghiệm của Q(x)

3. Vì x1, x2 là hai nghiệm khác nhau của đa thức P(x) = $ax^{2}+bx+c$ (a $\neq 0$) nên ta có:

P(x1) = $ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=0\Rightarrow bx_{1}=-ax_{1}^{2}-c$ (1)

P(x2) = $ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=0\Rightarrow bx_{2}=-ax_{2}^{2}-c$ (2)

Trừ từng vế của (1) cho (2) ta được:

$b(x_{1}-x_{2})=-a(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})\Rightarrow b=-a(x_{1}+x_{2})$ (3)

Thay (3) vào (1) ta được:

$c = -ax_{1}^{2}-bx_{1}=-ax_{1}^{2}+a(x_{1}+x_{2})x_{1}=ax_{1}x_{2}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra

P(x) = $ax^{2}+bx+c=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}$

     = $a(x^{2}-xx_{1}-xx_{2}+x_{1}x_{2})$

     = $a(x-x_{1})(x-x_{2})$

4. Xét đa thức P(x) = ax^{2}+bx+c.

a) P(1) = a + b + c = 0 (theo đề bài).

Do đó 1 là một nghiệm của đa thức.

b) P(-1) = a - b + c = 0 (theo đề bài)

Do đó -1 là một nghiệm của đa thức.

Áp dụng:

A(x) = $(\sqrt{5}-1)x^{2}-\sqrt{5}x+1$

Đa thức A(x) có: a + b + c =  $(\sqrt{5}-1) - \sqrt{5} + 1 = 0$ nên A(x) có một nghiệm là 1

B(x) = $(1+\sqrt{3})x^{2}+x-\sqrt{3}$

Đa thức B(x) có: a - b + c = $(1+\sqrt{3}) - 1 -\sqrt{3}$ = 0 nên B(x) có một nghiệm là -1.