Bài tập về tìm nghiệm của đa thức cho trước

5.

a) $(2x^{2}-3x+1) + (3x^{2}+3x-6) = 0$

  $\Leftrightarrow 5x^{2}-5 = 0$

  $\Leftrightarrow (x-1)(x+1)=0$

  $\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-1$

b) $x^{3}-8x=0$

  $\Leftrightarrow x(x^{2}-8)=0$

  $\Leftrightarrow x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0$

  $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$ hoặc $x=-\sqrt{2}$

c) $x^{3}+64=0$

  $\Leftrightarrow x^{3}=-4^{3}$

  $\Leftrightarrow x=-4$

d) $x^{2}-5x+4=0$

  $\Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0$

  $\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=4$

6. 

a) $x^{2}-x+1=\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}$ > 0 với mọi x

Do đó $x^{2}-x+1$ không có nghiệm

b) $x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^{2}$ > 0 với mọi x

Do đó $x^{4}+2x^{2}+1$ không có nghiệm

c) 

Xét $x\leq 0$ thì $x^{8}\geq 0$; $-x^{5}\geq 0$; $x^{2}\geq 0$; $-x\geq 0$. Do đó:

P(x) = $x^{8}-x^{5}+x^{2}-x+1$ > 0

Xét 0 < x < 1 thì $x^{8}>0$ ; $1 - x >0$ ; $1-x^{3}>0$. Khi đó:

P(x) = $x^{8}-x^{5}+x^{2}-x+1$ 

     = $x^{8}+x^{2}(1-x^{3})+(1-x)$ > 0

Xét $x\geq 1$ thì $x^{5}>0$ ; $x^{3}-1\geq 0$; $x-1\geq 0$. Khi đó:

P(x) = $x^{8}-x^{5}+x^{2}-x+1$ 

     = $x^{5}(x^{3}-1)+x(x-1)+1$ > 0

Vậy P(x) > 0 với mọi x. Do đó P(x) không có nghiệm.

7. P(x) = $ax^{2}+bx+c$ (a $\neq $ 0)

a) a + b + c = 0

Xét P(1) = a + b + c = 0.

Do đó x = 1 là một nghiệm của đa thức P(x)

Xét P($\frac{c}{a}$) = $a.\left ( \frac{c}{a} \right )^{2}+b.\frac{c}{a}+c$

        = $\frac{c^{2}}{a}+b.\frac{c}{a}+\frac{c}{a}.a$

        = $\frac{c}{a}(c+b+a)$

        = 0 (do a + b + c = 0)

Do đó $\frac{c}{a}$ là một nghiệm của đa thức P(x)

Vậy với a + b + c = 0 thì đa thức P(x) có hai nghiệm là 1 và $\frac{c}{a}$

b) Chứng minh tương tự câu a.

8. P(x) thỏa mãn xP(x+1) = (x+2)P(x) với mọi x.

Tại x = 0 thì 0.P(1) = 2.P(0) $\Rightarrow $ P(0) = 0

Do đó x = 0 là một nghiệm của P(x)

Tại x = -2 thì -2P(-1) = 0.P(-2) $\Rightarrow $ P(-1) = 0

Do đó x = -1 là một nghiệm của P(x)

Vậy P(x) có ít nhất hai nghiệm