A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định một số có là nghiệm của đa thức hay không
Để xác định a có là một nghiệm của đa thức P(x) hay không, ta tính P(a):
- Nếu P(a) = 0 thì a là nghiệm của P(x)
- Nếu P(a) $\neq $ 0 thì a không là nghiệm của P(x)
Ví dụ 1: Kiểm tra xem -1; 1; 2; -2 có phải là các nghiệm của đa thức
P(x) = $x^{3}-x^{2}-4x+4$ hay không.
Hướng dẫn:
Ta có:
P(-1) = $(-1)^{3}-(-1)^{2}-4.(-1)+4$ = 6 $\neq $ 0
P(1) = $1^{3}-1^{2}-4.1+4$ = 0
P(2) = $2^{3}-2^{2}-4.2+4$ = 0
P(-2) = $(-2)^{3}-(-2)^{2}-4.(-2)+4$ = 0
Vậy các số 1; 2; -2 là nghiệm của P(x) còn -1 không là nghiệm của P(x)
2. Tìm nghiệm của đa thức cho trước.
Để tìm nghiệm của đa thức P(x), ta cần tìm giá trị của x sao cho P(x) = 0.
Chú ý đa thức bậc n có không quá n nghiệm
Để chứng tỏ đa thức P(x) không có nghiệm, ta chứng minh P(x) nhận giá trị khác 0 với mọi giá trị của x.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:
a) P(x) = 3x + 1
b) Q(x) = $x^{2}-x$
c) R(x) = $x^{2}-5$
Hướng dẫn:
a) Xét P(x) = 0
$\Rightarrow $ 3x + 1 = 0 $\Leftrightarrow x = \frac{-1}{3}$
Vậy P(x) có một nghiệm là $x = \frac{-1}{3}$
b) Xét Q(x) = 0
$\Rightarrow x^{2}-x = 0 \Leftrightarrow x(x-2) = 0 \Leftrightarrow $x = 0 hoặc x = 1
Vậy Q(x) có hai nghiệm là 0 và 1.
c) Xét R(x) = 0
$\Rightarrow x^{2}-5 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{5}$ hoặc $x = -\sqrt{5}$
Vậy R(x) có 2 nghiệm là $\sqrt{5}$ và -$\sqrt{5}$
3. Xác định đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước
Đa thức bậc nhất có dạng ax + b (a $\neq $ 0)
Đa thức bậc hai có dạng $ax^{2}+bx+c$ (a $\neq $ 0)
Đa thức bậc n có dạng $a^{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_{1}x+a_{0}$ (a $\neq $ 0)
Để xác định đa thức ta cần phải xác định được các hệ số của đa thức.
Ví dụ 3: Xác định đa thức bậc nhất P(x), biết P(1) = 1; P(0) = -1.
Hướng dẫn:
Đa thức bậc nhất P(x) có dạng P(x) = ax + b (a $\neq $ 0)
Có: P(0) = a.0 + b = b = -1
P(1) = a + b = 1. Mà b = -1 nên a = 2
Vậy đa thức cần tìm là P(x) = 2x - 1
B. Bài tập & Lời giải
1. Cho đa thức Q(x) = $x^{5}+2x^{4}+2x^{3}-2x^{2}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-5$
Số 1 có là nghiệm của Q(x) hay không?
2. Chứng minh rằng: Nếu x0 là một nghiệm của P(x) = ax + b (a và b đều khác 0) thì $\frac{1}{x_{0}}$ là một nghiệm của Q(x) = bx + a.
3. Chứng minh rằng: Nếu x1, x2 là hai nghiệm khác nhau của đa thức P(x) = $ax^{2}+bx+c$ (a $\neq 0$) thì P(x) = a(x-x1)(x-x2)
4. Xét đa thức P(x) = ax$^{2}$+bx+c. Chứng minh rằng:
a) Nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là một nghiệm của P(x)
b) Nếu a - b + c = 0 thì x = -1 là một nghiệm của P(x)
Áp dụng: Hãy tìm một nghiệm của các đa thức sau:
A(x) = $(\sqrt{5}-1)x^{2}-\sqrt{5}x+1$
B(x) = $(1+\sqrt{3})x^{2}+x-\sqrt{3}$
Xem lời giải
5. TÌm nghiệm của mỗi đa thức sau:
a) $(2x^{2}-3x+1) + (3x^{2}+3x-6)$
b) $x^{3}-8x$
c) $x^{3}+64$
d) $x^{2}-5x+4$
6. Chứng minh mỗi đa thức sau không có nghiệm:
a) $x^{2}-x+1$
b) $x^{4}+2x^{2}+1$
c) $x^{8}-x^{5}+x^{2}-x+1$
7. Xét đa thức P(x) = $ax^{2}+bx+c$ (a $\neq $ 0). Chứng tỏ rằng:
a) Nếu a + b + c = 0 thì P(x) có hai nghiệm là 1 và $\frac{c}{a}$
b) Nếu a - b +c = 0 thì P(x) có hai nghiệm là -1 và $-\frac{c}{a}$
8. Cho đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện:
xP(x+1) = (x+2)P(x)
Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm
Xem lời giải
9. Xác định đa thức bậc nhất Q(x) biết Q(1) = $\frac{7}{2}$; Q(-1) = $\frac{-5}{2}$
10. Cho đa thức P(x) = ax + b
Tìm điều kiện của a và b để P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2)
11. Cho đa thức P(x) = $\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}-1$
(với a, b, c đôi một khác nhau)
a) Chứng tỏ rằng P(x) có ít nhất ba nghiệm
b) Từ đó suy ra kết luận gì về giá trị của P(x)