I. HOÁN VỊ
1. Định nghĩa
HĐ1:
Ba cách xếp thứ tự đá luân lưu 11 m của 5 cầu thủ trên là:
- Cách 1: An, Bình, Cường, Dũng, Hải
- Cách 2: An, Bình, Cường, Hải, Dũng
- Cách 3: An, Bình, Hải, Cường, Dũng
Kết luận:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ∈N*).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Ví dụ 1 (SGK – tr11)
2. Số các hoán vị
HĐ2:
- Có 3 cách để chọn nhóm trình bày thứ nhất.
- Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất thì còn lại 2 nhóm, vì vậy có 2 cách để chọn nhóm trình bày thứ hai.
- Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai thì còn lại một nhóm duy nhất nên ta có 1 cách chọn nhóm trình bày thứ ba.
- Áp dụng quy tắc nhân, ta có số hoán vị được tạo ra là: 3. 2. 1 = 6 (hoán vị).
Kết luận:
Kí hiệu $P_n$ là số các hoán vị của $n$ phần tử. Ta có: $P_n= n(n – 1). … . 2 . 1.$
Quy ước:
Tích $1 . 2 . … .n$ được viết là $n!$ (đọc là n giai thừa), tức là $n! = 1 . 2 . … .n.$ Như vậy $P_n = n!$
Ví dụ 2 (SGK – tr12)
Luyện tập 1:
Một số có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là một hoán vị của sáu chữ số này.
Vậy số các số phải tìm là: $P_6 = 6! = 720$ (số).
II. CHỈNH HỢP
1. Định nghĩa
HĐ3:
Có thể tạo được 6 vectơ theo yêu cầu đó là: $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CB}$
HĐ4:
- Kết quả 1: Chọn 2 nhóm A và B rồi sắp xếp thứ tự A trình bày trước, B trình bày sau hoặc ngược lại.
- Kết quả 2: Chọn 2 nhóm A và C rồi sắp xếp thứ tự A trình bày trước, C trình bày sau hoặc ngược lại.
- Kết quả 3: Chọn 2 nhóm A và D rồi sắp xếp thứ tự A trình bày trước, D trình bày sau hoặc ngược lại.
- Kết quả 4: Chọn 2 nhóm B và C rồi sắp xếp thứ tự B trình bày trước, C trình bày sau hoặc ngược lại.
Kết luận:
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với $1 \leq k \leq n.$
Mỗi kết quả của việc lấy $k$ phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.
Ví dụ 3 (SGK – tr13)
2. Số các chỉnh hợp
HĐ5:
- Có 5 cách chọn nhóm trình bày thứ nhất.
- Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất, có 4 cách để chọn nhóm trình bày thứ hai.
- Sau khi đã chọn hai nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai, có 3 cách để chọn nhóm trình bày thứ ba.
- Áp dụng quy tắc nhân, ta có số chỉnh hợp được tạo ra là: 5 . 4 . 3 = 60.
Kết luận:
Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử $(1 \leq k \leq n)$
Ta có: $A_n^k = n(n – 1)…(n – k +1).$
Nhận xét:
$A_n^k = P_n \forall n \in N*.$
Ví dụ 4 (SGK – tr13)
Luyện tập 2:
Mỗi cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ là một chỉnh hợp chập 5 của 11.
Vậy ta có $A_{11}^5 = 55 440$ cách chọn ra 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ.
HĐ6
Ví dụ 5 (SGK – tr14)