Câu 42: Trang 73 - SGK Toán 7 tập 2
Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Gợi ý: Trong ΔABC, nếu AD là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn DA, sao cho DA1 = AD.
Bài Làm:
Giả sử ∆ABC có AD là phân giác \(\widehat{BAC}\) và DB = DC, ta chứng minh ∆ABC cân tại A.
Kéo dài AD một đoạn DA1 = AD.
Xét ∆ADC và ∆A1DB có:
CD = BD (gt)
DA = DA1 (cách vẽ)
$\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow ∆ADC = ∆A_1DB\,\ (c.g.c)$
$\Rightarrow BA_1=AC\,\ (1)$ (cạnh tương ứng)
Mà: $\widehat{BA_1D}=\widehat{DAC};\,\ \widehat{BAD}=\widehat{DAC}(gt)$
$\Rightarrow \widehat{BA_1D}=\widehat{BAD}$
$\Rightarrow \Delta ABA_1$ cân tại B.
$\Rightarrow AB = A_1B\,\ (2)$
Từ (1)(2) suy ra: $AB = AC$
Vậy $∆ABC$ cân tại $A$
Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân
