Bài 9: trang 180 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho biết trong một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào số hạng thứ hai, còn giữ nguyên số hạng thứ ba thì ba số mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng của năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho
Bài Làm:
Theo giả thiết ta có:
Cấp số nhân: \(u_1, u_2, u_3,...\)
Cấp số cộng: \(u_1 + 10, u_2 + 8, u_3,...\)
Ta có hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 nên có phương trinh: \(u_3-u_2=12\)
Ta có trong cấp số cộng, số hạng thứ hai sẽ bằng trung bình cộng của số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba nên ta có phương trình: \(u_2+8=\frac{(u_1+10)+u_3}{2}\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{{u_3} - {u_2} = 12 \hfill \cr {u_2} + 8 = {{({u_1} + 10) + {u_3}} \over 2} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1}{q^2} - {u_1}q = 12 \hfill \cr 2({u_1}q + 8) = {u_1} + 10 + {u_1}{q^2} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1}({q^2} - q) = 12 \hfill \cr {u_1}({q^2} - 2q + 1) = 6 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1}({q^2} - q) = 12\,(1) \hfill \cr {u_1}{(q - 1)^2} = 6\,(2) \hfill \cr} \right.({u_1} \ne 0,q \ne 0,q \ne 1)\)
Lấy (1) chia cho (2) theo từng vế, ta được:
\({{{q^2} - q} \over {{{(q - 1)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow q=2 \)
\(q = 2\), thay vào (1) ta có: \(u_1(4 – 2) = 12 ⇔ u_1= 6\)
Ta được cấp số nhân có \(u_1=6, q=2\)
Vậy tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân là:
\({S_5} = {u_1}{{1 - {q^5}} \over {1 - q}} = 6.{{1 - {2^5}} \over {1 - 2}} = 186\).