Bài 8: trang 180 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng \(27\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(275\)
Bài Làm:
Xét cấp số cộng \(u_1, u_2, u_3,...\) có công sai \(d > 0\)
Theo giả thiết ta có:
\(\left\{ \matrix{{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr {u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 = 275 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1} + ({u_1} + d) + ({u_1} + 2d) = 27 \hfill \cr {u_1}^2 + {({u_1} + d)^2} + {({u_1} + 2d)^2} = 275 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{3{u_1} + 3d = 27 \hfill \cr 3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1} = 9 - d\,(1) \hfill \cr 3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275\,(2) \hfill \cr} \right. \)
Thay \(u_1\) ở (1) vào (2) ta được phương trinh:
\(3(9 - d)^2+ 6d(9 – d) + 5d^2= 275 \Leftrightarrow d^2– 16 = 0 \Leftrightarrow d = ± 4\)
Vì \(d > 0\) nên ta chọn giá trị \(d = 4\)
\(d=4\Rightarrow u_1=9-4= 5\)
Vậy cấp số cộng phải tìm là \(5, 9, 13, 17, ...\)