Câu 9: trang 177 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hai hàm số:
\(y = {1 \over {x\sqrt 2 }};y = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }}\)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Bài Làm:
- \({C_1}:y = f(x) = {1 \over {x\sqrt 2 }} \Rightarrow f'(x) = - {1 \over {{x^2}\sqrt 2 }}\)
- \({C_2}:y = g(x) = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow g'(x) = {{2x} \over {\sqrt 2 }} = x\sqrt 2 \)
- Phương trình hoành độ giao điểm của \((C_1)\) và \((C_2)\) là:
\({1 \over {x\sqrt 2 }} = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne 0 \hfill \cr {x^3} = 1 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow x = 1 \)
\(\Rightarrow y = {1 \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy giao điểm của \((C_1)\) và \((C_2)\) là \(A(1,{{\sqrt 2 } \over 2})\)
Ta có \(f'(1)=-\frac{1}{1^2.\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- Phương trình tiếp tuyến của \((C_1)\) tại điểm $A$ là:
\(y - {{\sqrt 2 } \over 2} = f'(1)(x - 1) \)
\(\Leftrightarrow y - {{\sqrt 2 } \over 2} = - {1 \over {\sqrt 2 }}(x - 1) \)
\(\Leftrightarrow y = - {x \over {\sqrt 2 }} + \sqrt 2 \)
Tiếp tuyến này có hệ số góc \(k_1= {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}\)
- Phương trình tiếp tuyến của \((C_2)\) tại điểm \(A\) là:
\(y - {{\sqrt 2 } \over 2} = g'(1)(x - 1) \)
\(\Leftrightarrow y - {{\sqrt 2 } \over 2} = \sqrt 2 (x - 1) \)
\(\Leftrightarrow y = x\sqrt 2 - {{\sqrt 2 } \over 2}\)
Tiếp tuyến này có hệ số góc \(k_2= \sqrt 2\)
- Ta có: \({k_1}.{k_2} = \left ( - {1 \over {\sqrt 2 }} \right ).\sqrt 2 = - 1\)
\(\Rightarrow \)Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau
\(\Rightarrow \)Góc giữa hai tiếp tuyến bằng \(90^o\).