Bài 2 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).
a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC).
b) Giả sử BC ⊥ SA, CA ⊥ SB. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và AB ⊥ SC.
Bài Làm:
a) Để xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC), ta có thể vẽ đường thẳng vuông góc từ điểm S đến mặt phẳng (ABC), kết hợp với việc vẽ các đường thẳng từ A, B, C vuông góc với mặt phẳng (ABC) để tìm hình chiếu của các đường thẳng đó. Hình chiếu của SA, SB, SC lần lượt là AD, BE, CF
b) b) Vì BC ⊥ SA và CA ⊥ SB, nên BC và CA lần lượt là các đường vuông góc với SA và SB. Do đó, ta có:
- SA ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ BC và SK ⊥ AB (trong đó H và K lần lượt là hình chiếu của S xuống BC và AB)
- SB ⊥ (ABC) ⇒ SJ ⊥ AC và SL ⊥ AB (trong đó J và L lần lượt là hình chiếu của S xuống AC và AB)
- SC ⊥ (ABC) ⇒ SM ⊥ AB và SN ⊥ AC (trong đó M và N lần lượt là hình chiếu của S xuống AB và AC)
Khi đó, ta thấy rằng tam giác ABC có ba đường cao HN, KM và LJ, nên H là trực tâm của tam giác ABC (vì trực tâm là điểm giao điểm của ba đường cao của tam giác).
Bên cạnh đó, ta có AB ⊥ SL (vì AB vuông góc với mặt phẳng (ABC), SL vuông góc với AB), và từ đó suy ra AB ⊥ SC (vì SL là hình chiếu của SC xuống AB). Vậy AB ⊥ SC, như cần chứng minh.
