Giải hoạt động 5 trang 83 Toán 11 tập 2 Cánh diều

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức

I. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 80 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hình 10 mô tả một người thợ xây đang thả dây dọi vuông góc với nền nhà. Coi dây dọi như đường thẳng d và nền nhà như mặt phẳng (P), khi đó Hình 10 gợi nên hình ảnh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Người thợ xây đặt chiếc thước thẳng ở một vị trí tuỳ ý trên nền nhà. Coi chiếc thước thẳng đó là đường thẳng a trong mặt phẳng (P), nêu dự đoán về mối liên hệ giữa đường thẳng d và đường thẳng a.

Xem lời giải

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hoạt động 2 trang 81 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hình 12 mô tả cửa tròn xoay, ở đó trục cửa và hai mép cửa gợi nên hình ảnh các đường thẳng d, a, b; sàn nhà coi như mặt phẳng (P) chứa a và b. Hỏi đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

Xem lời giải

Luyện tập 1 trang 81 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC)

Xem lời giải

Hoạt động 3 trang 81 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi b, c là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (Hình 14).

a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a?

Xem lời giải

Luyện tập 2 trang 82 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng d và a. Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là những đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.

Xem lời giải

Hoạt động 4 trang 82 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Gọi a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) sao cho a và b không đi qua 0. Lấy hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc với a, b (Hình 18).

a) Giao tuyến $\Delta$ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua và vuông góc voi (P)?

Xem lời giải

Luyện tập 3 trang 83 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a cắt nhau tại điểm O, a ⊥ (P). Giả sử điểm M thỏa mãn OM ⊥ (P).Chứng minh rằng $M \in a$

Xem lời giải

Luyện tập 4 trang 84 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau tại điểm O. Lấy các điểm A, B thuộc d khác O; các điểm A', B' thuộc (P) thỏa mãn AA' ⊥ (P), BB' ⊥ (P). Chứng minh rằng: $\frac{AA'}{BB'}=\frac{OA}{OB}$

Xem lời giải

Hoạt động 6 trang 84 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 21, hai mặt trần của nhà cao tầng và cột trụ bê tông gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P), (Q) phân biệt và đường thẳng a.

Quan sát Hình 21 và cho biết:

a) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng a có vuông góc với mặt phẳng (Q) hay không;
b) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) cùng vuông góc với đường thẳng a thì chúng có song song với nhau hay không.

Xem lời giải

Luyện tập 5 trang 85 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Mặt phẳng (P) khác với mặt phẳng (ABC), vuông góc với đường thẳng SA và lần lượt cắt các đường thẳng SB, SC tại hai điểm phân biệt B', C'. Chứng minh rằng B'C' // BC

Xem lời giải

V. Phép chiếu vuông góc 

Hoạt động 7 trang 85 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tuỳ ý trong không gian.

a) Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)?
b) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại bao nhiêu giao điểm?

Xem lời giải

Luyện tập 6 trang 86 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P)

Xem lời giải

VI. Định lí ba đường vuông góc 

Hoạt động 8 trang 87 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 27, mặt sàn gợi nên hình ảnh mặt phẳng (P), đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng a’là hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P), đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Quan sát Hình 27 và cho biết:

a) Nếu đường thẳng d vuông góc với hình chiếu a thì đường thẳng d có vuông góc với a hay không;
b) Ngược lại, nếu đường thẳng d vuông góc với a thì đường thẳng d có vuông góc với hình chiếu a’ hay không.

Xem lời giải

Luyện tập 7 trang 87 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng các tam giác SBC và SCD là các tam giác vuông

Xem lời giải

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Quan sát Hình 30 (hai cột của biển báo, mặt đường), cho biết hình đó gợi nên tính chất nào về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Xem lời giải

Bài 2 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC).

b) Giả sử BC ⊥ SA, CA ⊥ SB. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và AB ⊥ SC.

Xem lời giải

Bài 3 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác BCD, ACD. Chứng minh rằng: 

a) CD ⊥ (ABH)

b) CD ⊥ (ABK)

c) Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm

Xem lời giải

Bài 4 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tam giác ABC nhọn có trực tâm H là hình chiếu của S trên (ABCD). Chứng minh rằng 

a) SA ⊥ AD

b) SC ⊥ CD

Xem lời giải

Bài 5 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC), BC ⊥ AB. Lấy hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC và điểm P nằm trên cạnh SA. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác vuông.

Xem lời giải