Câu 15: trang 108 sgk toán Đại số và giải tích 11
Hãy cho biết dãy số \((u_n)\) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó là:
| A. \({( - 1)^{n + 1}}.\sin {\pi \over n}\) | B. \({( - 1)^{2n}}({5^n} + 1)\) |
| C. \({1 \over {\sqrt {n + 1} + n}}\) | D. \({n \over {{n^2} + 1}}\) |
Bài Làm:
Xét từng phương án ta có:
- Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử \({\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\)
Nên các số hạng sẽ có dấu (-); (+) xen kẽ, do đó, \(u_n\) không thể là dãy số tăng.
- Phương án C:
\(\eqalign{ & {u_3} = {1 \over {\sqrt {3 + 1} + 1}} = {1 \over 3} \cr & {u_8} = {1 \over {\sqrt {8 + 1} + 1}} = {1 \over 4} \cr} \)
\(⇒ u_8 < u_3 ⇒ u_n\) không là dãy số tăng
Nên đáp án C sai.
- Phương án D: \({u_1} = {1 \over 2},{u_2} = {2 \over 5}\)
\(⇒ u_2< u_1⇒ u_n\) không là dãy số tăng
Vậy đáp án D sai.
- Phương án B
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}.({5^n} + 1) = {5^n} + 1\)
vì 2n chẵn nên \({\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1\)
Ta có:\({u_{n + 1}} - {u_n} =({5^{n + 1}} + 1)-({5^n} +1) = {5^{n + 1}}-{5^n}\)
\(= 5^n. (5 – 1) = 4. 5^n> 0, ∀ n ∈ {\mathbb N}^*\)
\(\Rightarrow u_n\) là dãy số tăng
Vậy đáp án B đúng.