Câu 5: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
a. \(13^n-1\) chia hết cho 6
b. \(3n^3+ 15n\) chia hết cho 9
Bài Làm:
a) Với \(n = 1\), ta có:
\(13^1– 1 = 13– 1 = 12 ⋮ 6\)
Giả sử: \((13^k- 1) ⋮ 6\) với mọi \(k ≥ 1\)
Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)
Thật vậy:
\({13^{k + 1}}-1= {13^{k + 1}}-{13^k} + {13^k} - 1 = {12.13^k} + {13^k}-1\)
Vì : \(12.13^k ⋮ 6\) và \((13^k– 1) ⋮ 6\) (theo giả thiết quy nạp)
\(\Rightarrow (13^{k+1}– 1) ⋮ 6\)
Vậy \((13^n-1)\) chia hết cho 6
b) Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18 ⋮ 9\)
Giả sử: \((3k^3+ 15k) ⋮ 9\).
Ta chứng minh: \([3(k + 1)^3+ 15(k + 1)] ⋮ 9\)
Thật vậy:
\(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \)
\(= 3.({k^3} + 3{k^2} + 3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\)
\(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\)
\(= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2)\)
Vì \((3k^3 + 15k) ⋮ 9\)(theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2) ⋮ 9\)
\(\Rightarrow [3(k + 1)^3+ 15(k + 1)] ⋮ 9\)
Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho 9 với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)