Câu 3: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm các số hạng của cấp số nhân \((u_n)\) có năm số hạng, biết:
a) \(u_3= 3\) và \(u_5= 27\);
b) \(u_4– u_2= 25\) và \(u_3– u_1= 50\)
Bài Làm:
a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:
\(u_3= 3 = u_1.q^2\)
\(u_5= 27 = u_1.q^4\)
Vì \(27 = ({u_1}{q^2}).{q^2} = 3.{q^2}\Rightarrow {q^2} = 9\Rightarrow q = \pm 3\)
Thay \(q^2= 9\) vào công thức chứa \(u_3\)
Ta có \(u_1=\frac{3}{q^{2}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\).
Cấp số nhân $(u_{n})$công bội q có thể viết dưới dạng:
$u_{1}, u_{1}q^{2}; u_{1}q^{3}; ...; u_{1}q^{n-1}; ......$. Ta có:
- Nếu \(q = 3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27\).
- Nếu \(q = -3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, -1, 3, -9, 27\).
b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:
$\left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=25 & \\ u_{3}-u_{1}=50 & \end{matrix}\right.$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25(1)\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 (2) \end{matrix}\right.\)
Nhân cả hai vế của phương trình (2) với q ta được:
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25(1)\\ u_{1}q^{3}-u_{1}q=50q (2) \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2}-u_{1}=50\\ 25-50q=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-u_{1}=50\\ q=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}=-\frac{200}{3}\\ q=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)
Ta có 5 số hạng của cấp số nhân \( \frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}\).
