Câu 1: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chứng minh các dãy số \(\left ( \frac{3}{5} . 2^n \right )\), \(\left (\frac{5}{2^{n}} \right )\), \(\left ( \left ( -\frac{1}{2} \right )^{n} \right )\) là các cấp số nhân.
Bài Làm:
Để chứng minh dãy $(u_{n})$là cấp số nhân thì ta chứng minh $u_{n+1}=u_{n}.q$
Với q là công bội của cấp số nhân.
- Với mọi \(∀n\in {\mathbb N}^*\)
Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}= ( \frac{3}{5} . 2^{n+1}) : (\frac{3}{5}. 2^n) =( \frac{3}{5} . 2^{n}.2) : (\frac{3}{5}. 2^n)= 2\).
\(\Rightarrow u_{n+1}= u_n.2; n\in {\mathbb N}^*\)
\(\Rightarrow u_{1}=\frac{3}{5}.2^{1}=\frac{6}{5}\)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \frac{6}{5}\), \(q = 2\)
- Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\)
Ta có \(u_{n+1}= \frac{5}{2^{n+1}}=\frac{5}{2^{n}}.\frac{1}{2}\)=\( u_n.\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u_{1}=\frac{5}{2^{1}}=\frac{5}{2}\)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \frac{5}{2}\),\(q= \frac{1}{2}\)
- Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\)
Ta có \(u_{n+1}= (-\frac{1}{2})^{n+1}=(-\frac{1}{2})^{n}.(-\frac{1}{2})=u_{n}.\frac{-1}{2}\).
\(\Rightarrow u_{1}=\left ( -\frac{1}{2} \right )^{1}=\frac{-1}{2}\)
Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \(u_1= \frac{-1}{2}\),\(q= \frac{-1}{2}\).
