Câu 6: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng:
a) 1110 – 1 chia hết cho 100;
b) 101100– 1 chia hết cho 10 000;
c) $\sqrt{10}[(1 + \sqrt{10})100 – (1- \sqrt{10})100]$ là một số nguyên
Bài Làm:
a) Ta có:
1110 – 1 = (1 + 10)10 – 1 = (1 + C110 10 + C210102 + … +C910 109 + 1010) – 1
= 102 + C210102 +…+ C910 109 + 1010
= 102 ( 1 + C210 + …+ C910 107 + 109). (1)
Ta thấy tổng (1) chia hết cho 100, vậy nên 1110 – 1 chia hết cho 100.
b) Ta có
101100 – 1 = (1 + 100)100 - 1
= (1 + C1100 100 + C2100 1002 + …+C99100 10099 + 100100) – 1.
= 1002 + C21001002 + …+ C9910010099 + 100100.
= 1002 (1 + C2100 + …+ C9910010097 + 10098). (2)
Ta thấy tổng (2) chia hết cho 100 000, vậy nên 101100 – 1 chia hết cho 100 000.
c) Ta có
(1 + √10)100 = 1 + C1100 √10 + C2100 (√10)2 +…+ C99100(√10)99 + C100100 (√10)100
(1 - √10)100 = 1 - C1100 √10 + C2100 (√10)2 -…- C99100 (√10)99 + C100100 (√10)100
=> √10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100]
= 2√10[C1100 √10 + C3100 (√10)3 +…+ C99100. (√10)99]
= 2(C1100 10 + C3100 102 +…+ C99100 1050) (3)
Ta thấy (3) là một số nguyên, vậy nên √10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] là một số nguyên.