Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân, cạnh huyền BC = 2a không đổi .Gọi H là trung điểm của BC .
1. Hãy dựng điểm M trên đoạn AH sao cho khoảng cách từ M đến BC bằng tổng khoảng cách đến AB và AC .
2. Tính theo a độ dài của HM tương ứng .
Bài Làm:
Phân tích bài toán :
Giả sử đã dựng được M thuộc AH mà khoảng cách từ M đến BC bằng tổng khoảng cách từ M đến AB và AC.
Ta có $N \in AP => MH = MK + ML =MN$.
=> $ \triangle MNH$ cân tại M .
=> $ \widehat{MNH}= \widehat{MHN} = \widehat{MHN} = \widehat{PHN}$ .
Cách dựng hình :
Dựng điểm P là đối xứng của điểm H qua AB.
Dựng phân giác HN của $\triangle AHB$.
Dựng NM // PH ,$ M \in AH$ thì ta có M là điểm cần dựng .
Chứng minh :
Vì : $\triangle MHN$ cân tại M => MH = MN = MK+ ML .
=> Ta dựng được hình như trên .
Biện luận:
Từ những giả thiết đề bài , ta luôn dựng được hình .
=> Bài toán có một nghiệm hình .
2.
Đặt MH = x. TA có : AH = AM + MH .
=> MA = a – x
Vì MH = 2MK <=> $ x = 2(a-x)\frac{\sqrt{2}}{2} <=> x= \frac{a\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}<=> x=a(2-\sqrt{2})$
Vậy $MH =a(2-\sqrt{2})$ .