6. (Đề kiểm tra học kì I, quận Tân Bình, Thành phố Hồ Chí MInh, năm học 2017 - 2018)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn (O) đường kính AC cắt BC tại K, vẽ dây cung AD của (O) vuông góc với BO tại H.
a, Chứng minh 4 điểm B, K, H, A cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c, Chứng minh BH.BO = BK.BC
d, Từ O vẽ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E, từ B vẽ đường thẳng vuông góc với EC tại F, BF cắt AO tại M. Chứng minh MA = MO.
Bài Làm:
a, Ta có tam giác AKC thuộc đường tròn (O) có đường kính AC
=> Tam giác AKC vuông tại K
=> $\widehat{BKA}=90^{0}$
=> B, K, A cùng thuộc đường tròn đường kính BA (1)
Lại có BO $\perp $ AD tại H => $\widehat{BHA}=90^{0}$
=> B, H, A cùng thuộc đường tròn đường kính BA (2)
Từ (1) và (2) suy ra B, H, A, K cùng thuộc đường tròn đường kính BA (đpcm)
b, Xét tam giác OAD cân tại O (do OA = OD = R) có OB vuông góc với AD
=> OB là đường trung trực của cạnh AD (tính chất tam giác cân)
=> AB = BD (tính chất đường trung trực)
+ Xét tam giác ABO và DBO có:
- AB = BD
- AO = OD (= bán kính của đường tròn)
- BO chung
=> $\Delta $ABO = $\Delta $DBO (c - c -c )
=> $\widehat{BDO}=\widehat{BAO}=90^{0}$
=> BD $\perp $ OD
Suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm).
c, Xét tam giác vuông BOD có HD là đường cao
=> BH.BO = BD$^{2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3)
+ Xét tam giác BDK và tam giác BCD có:
- Góc CBD chung
- $\widehat{BDK}=\widehat{BCD}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung DK)
=> $\Delta $ABO $\sim $ $\Delta $DBO (g-g)
=> $\frac{BD}{BC}=\frac{BK}{BD}$ => BK.BC = BD$^{2}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: BH.BO = BK.BC (đpcm)
d, Xét tam giác BEF và tam giác CEA có:
- $\widehat{ABM}=\widehat{ACE}$ (cùng phụ với góc BEC)
- $\widehat{CAE}=\widehat{BAM}=90^{0}$
=> $\Delta $BEF $\sim $ $\Delta $CEA (g-g)
=> $\frac{AM}{AE}=\frac{AB}{AC}$ => AB.AE =AM.AC (*)
Xét tam giác BOE vuông tại O có AO là đường cao:
=> AB.AE = AO$^{2}$ (**)
Từ (*) và (**) => AO$^{2}$ = AM.AC <=> AO$^{2}$ = 2AO.AM <=> 2AM = AO
Mà có AM + MO = AO => MO = AO - AM = 2AM - AM = AM
Vậy AM = MO (đpcm)