Giải phát triển năng lực toán 9 bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phân tích các số sau dưới dạng tích một số chính phương (4 = 2$^{2}$; 9 = 3$^{2}$; 16 = 4$^{2}$; ....) và một số không chính phương, sau đó sử dụng quy tắc khai phương một tích (theo mẫu):

Hướng dẫn:

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a. $\sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{75}$

b. $3\sqrt{5}-\sqrt{20}+\sqrt{45}$

Điền vào chỗ trống để hoàn thành nội dung sau:

Một cách tổng quát:

Với hai biểu thức A, B mà B $\geq $ 0 ta có: $\sqrt{A^{2}B}=|A|.\sqrt{B}$ tức là

• Nếu A $\geq $ 0 và B $\geq $ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}$ = ................... ;
• Nếu A < 0 và B $\geq $ 0 thì $\sqrt{A^{2}B }$ = ....................

Hướng dẫn:

a. $\sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{75}$ = $\sqrt{3}+\sqrt{2^{2}.3}+\sqrt{5^{2}.3}$ = $\sqrt{3}+2\sqrt{3}+5\sqrt{3}$ = $8\sqrt{3}$

b. $3\sqrt{5}-\sqrt{20}+\sqrt{45}$ = $3\sqrt{5}-\sqrt{2^{2}.5}+\sqrt{3^{2}.5}$ = $3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}$ = $4\sqrt{5}$

Một cách tổng quát:

Với hai biểu thức A, B mà B $\geq $ 0 ta có: $\sqrt{A^{2}B}=|A|.\sqrt{B}$ tức là

• Nếu A $\geq $ 0 và B $\geq $ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=A.\sqrt{B}$ ;
• Nếu A < 0 và B $\geq $ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=-A.\sqrt{B}$.

Ví dụ 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

c. $\sqrt{28x^{3}y^{2}}$ với $x\geq 0, y\geq 0$;

d. $\sqrt{36x^{3}y^{5}}$ với $x\leq 0, y\leq 0$.

Hướng dẫn:

c. $\sqrt{28x^{3}y^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}.x^{2}.y^{2}.7x}=2|x|.|y|\sqrt{7x}$ ($x\geq 0$ nên $7x\geq 0$ => $\sqrt{7x}$ xác định)

Vì $x\geq 0, y\geq 0$ nên |x| = x và |y| = y => $2|x|.|y|\sqrt{7x}=2xy\sqrt{7x}$

d. $\sqrt{36x^{3}y^{5}}$ = $\sqrt{6^{2}.x^{2}.y^{4}.x.y}=6|x|.|y^{2}|\sqrt{xy}$ (Với $x\leq 0, y\leq 0$ thì $x.y\geq 0$ => $\sqrt{xy}$ xác định)

Với $x\leq 0, y\leq 0$ thì |x| = -x và |$y^{2}$| = $y^{2}$ => $6|x|.|y^{2}|\sqrt{xy}=-6xy^{2}\sqrt{xy}$

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Điền vào chỗ trống để hoàn thành nội dung sau:

Với hai biểu thức A và B ta có:

• Nếu A $\geq $ 0 và B $\geq $ 0 thì $A\sqrt{B}$ = ............;
• Nếu A < 0 và B $\geq $ 0 thì $A\sqrt{B}$ = ................

Hướng dẫn:

Với hai biểu thức A và B ta có:

• Nếu A $\geq $ 0 và B $\geq $ 0 thì $A\sqrt{B}$ = $\sqrt{A^{2}B}$;
• Nếu A < 0 và B $\geq $ 0 thì $A\sqrt{B}$ = -$\sqrt{(A)^{2}B}$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a. $5\sqrt{5}$                  b. $-3x^{2}\sqrt{y}$ với $y\geq 0$ ;

c. $-7\sqrt{2}$                 d. $-xy\sqrt{x^{2}y}$ với $x\leq 0,y\geq 0$.

Hướng dẫn:

a. $5\sqrt{5}$ = $\sqrt{5^{2}.5}$ = $\sqrt{25.5}$ = $\sqrt{125}$

b.  $-3x^{2}\sqrt{y}$ = -$\sqrt{3^{2}.(x^{2})^{2}.y}$ = - $\sqrt{9x^{4}y}$ (với $y\geq 0$)

c. $-7\sqrt{2}$ = - $\sqrt{7^{2}.2}$ = -$\sqrt{49.2}$ = -$\sqrt{98}$

d. $-xy\sqrt{x^{2}y}$ = $\sqrt{(-x)^{2}.y^{2}.x^{2}y}$ = $\sqrt{x^{4}y^{3}}$ (với $x\leq 0, y\geq 0$).