Giải phát triển năng lực toán 9 bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

1. Sử dụng máy tính bỏ túi để so sánh:

a, $\sqrt{36.4}$ và $\sqrt{36}.\sqrt{4}$

b, $\sqrt{50.2}$ và $\sqrt{50}.\sqrt{2}$

Từ hoạt động trên em có rút ra nhận xét gì về mối quan hệ của $\sqrt{a.b}$ và $\sqrt{a}.\sqrt{b}$ với a, b là các số không âm? Nếu a, b là các số âm thì nhận xét trên còn đúng hay không? Giải thích.

Hướng dẫn:

Sử dụng máy tính tính ta có:

a, $\sqrt{36.4}$ = $\sqrt{36}.\sqrt{4}$

b, $\sqrt{50.2}$ = $\sqrt{50}.\sqrt{2}$

Nhận xét: $\sqrt{a.b}$ = $\sqrt{a}.\sqrt{b}$ với a, b là các số không âm

Với a, b là các số âm thì nhận xét trên không còn đúng vì khi đó $\sqrt{a}$ và $\sqrt{b}$ không có nghĩa.

Điền vào chỗ chấm để hoàn thành định lí sau:

Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có: $\sqrt{a.b}$ = ....

Áp dụng định lí trên, chứng minh rằng với các số a, b, c không âm, ta có: $\sqrt{a.b.c}$ = $\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}$

Hướng dẫn:

Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có: $\sqrt{a.b}$ = $\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Chứng minh: $\sqrt{a.b.c}$ = $\sqrt{(a.b).c}$ = $\sqrt{a.b}.\sqrt{c}$ = $\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}$

2. Áp dụng định lí

a. Tính giá trị biểu thức B = $\sqrt{90.40}$ bằng hai cách

Điền vào chỗ chấm để hoàn thành quy tắc sau:

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể ................. rồi ...................... với nhau.

Hướng dẫn:

Cách 1: B = $\sqrt{90.40}$ = $\sqrt{3600}$ = 60

Cách 2: B = $\sqrt{90.40}$ = $\sqrt{9.4.100}$ = $\sqrt{9}.\sqrt{4}.\sqrt{100}$ = 3.2.10 = 60

Quy tắc:

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

b. Trình bày những khó khăn khi tính giá trị của các biểu thức sau mà không sử dụng đến máy tính bỏ túi:

C = $\sqrt{12}.\sqrt{3}$;                    D = $\sqrt{0,1}.\sqrt{10}.\sqrt{4}$

Điền vào chỗ chấm để hoàn thành quy tắc:

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể ...................... với nhau rồi ..................... kết quả đó.

Hướng dẫn:

Khó khăn: Nếu không dùng máy tính thì không thể khai phương được các số 12; 3; 0,1; 10 vì giá trị của chúng sẽ là những số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Quy tắc: 

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

c, Áp dụng

Rút gọn các biểu thức sau với a, b là các số không âm.

i. $\sqrt{2a}.\sqrt{8a}$                    

ii. $\sqrt{16ab^{2}}.\sqrt{a}$

iii. $\sqrt{3a}.\sqrt{4a^{2}b^{2}}.\sqrt{3ab^{2}}$

iv. $\sqrt{a^{3}}.\sqrt{2a^{2}b^{2}}.\sqrt{32ab^{2}}$

Hướng dẫn:

i. $\sqrt{2a}.\sqrt{8a}$ = $\sqrt{2a.8a}=\sqrt{16a^{2}}$ = 4a

ii. $\sqrt{16ab^{2}}.\sqrt{a}$ = $\sqrt{16ab^{2}.a}=\sqrt{16a^{2}b^{2}}$ = 4ab

iii. $\sqrt{3a}.\sqrt{4a^{2}b^{2}}.\sqrt{3ab^{2}}$ = $\sqrt{3a.3ab^{2}}.\sqrt{4a^{2}b^{2}}$

    = $\sqrt{9a^{2}b^{2}}.\sqrt{4a^{2}b^{2}}$ = $3ab.2ab= 6a^{2}b^{2}$

iv. $\sqrt{a^{3}}.\sqrt{2a^{2}b^{2}}.\sqrt{32ab^{2}}$ = $\sqrt{a^{3}.2a^{2}b^{2}.32ab^{2}}$

    = $\sqrt{64a^{6}b^{4}}=8a^{3}b^{2}$