1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn hoặc trục căn thức ở mẫu:
c, $\frac{-2}{\sqrt{3}}$;
d, $\sqrt{\frac{7}{120}}$;
e, $\sqrt{\frac{3x}{5y^{5}}}$ với x.y > 0;
f, $\frac{2x}{\sqrt{-2y}}$ với y < 0.
Hướng dẫn:
c, $\frac{-2}{\sqrt{3}}$ = $\frac{-2\sqrt{3}}{3}$
d, $\sqrt{\frac{7}{120}}$ = $\sqrt{\frac{7}{2^{2}.30}}$ = $\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{7}.\sqrt{30}}{2.30}=\frac{\sqrt{210}}{60}$
e, $\sqrt{\frac{3x}{5y^{5}}}$ = $\sqrt{\frac{3x.5y}{5^{2}.y^{6}}}$ = $\frac{\sqrt{15xy}}{\sqrt{5^{2}.y^{6}}}=\frac{\sqrt{15xy}}{5|y^{3}|}=\frac{\sqrt{15xy}}{5y^{3}}$
f, $\frac{2x}{\sqrt{-2y}}$ = $\frac{2x.\sqrt{-2y}}{(\sqrt{-2y})^{2}}$ =$\frac{-x.\sqrt{-2y}}{y}$ (với y < 0)
2. Biểu thức liên hợp
Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu
c, $\frac{3}{\sqrt{7}+2}$;
d, $\frac{9a-b^{2}}{3\sqrt{a}+b}$ với $a\geq 0$ và $a\neq \frac{b^{2}}{9}$;
e, $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$;
f, $\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}$ với $a\geq 0$.
Hướng dẫn:
c, $\frac{3}{\sqrt{7}+2}$ = $\frac{3.(\sqrt{7}-2)}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)}=\frac{3.(\sqrt{7}-2))}{7-4}=\sqrt{7}-2$
d, $\frac{9a-b^{2}}{3\sqrt{a}+b}$ = $\frac{(9a-b^{2})(3\sqrt{a}-b)}{(3\sqrt{a}+b)(3\sqrt{a}-b))}=\frac{(9a-b^{2})(3\sqrt{a}-b)}{9a-b^{2}}=3\sqrt{a}-b$ (với $a\geq 0$ và $a\neq \frac{b^{2}}{9}$)
e, $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}.(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}= \frac{2\sqrt{3}.(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3}=\frac{\sqrt{3}.(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{2}$
f, $\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}$ = $\frac{1.(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}).(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}$ = $\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}{a+1-a}$ = $\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$ (với $a\geq 0$).
Điền vào chỗ chấm để hoàn thành nội dung sau:
Một cách tổng quát:
- Với các biểu thức A, B, C mà A $\geq $ 0 và A $\neq $ B$^{2}$, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{...........}$.
- Với các biểu thức A, B, C mà A, B $\geq $ 0 và A $\neq $ B, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}$ = ..................
Hướng dẫn:
Một cách tổng quát:
- Với các biểu thức A, B, C mà A $\geq $ 0 và A $\neq $ B$^{2}$, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^{2}}$.
- Với các biểu thức A, B, C mà A, B $\geq $ 0 và A $\neq $ B, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}$ = $\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$.
Bài tập & Lời giải
Câu 1: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a, $\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$; b, $\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$;
c, $\frac{1}{2-\sqrt{5}}$; d, $\frac{6}{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}}$.
Xem lời giải
Câu 2: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a, $\frac{1}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{3-\sqrt{5}}$;
b, $\frac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{8}{1-\sqrt{5}}$;
c, $\frac{4}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}-3}$;
d, $\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$;
e, $\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}+\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$;
f, $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}$.
Xem lời giải
Câu 3: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a, $\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1$ với $x\geq 0,x\neq 1$;
b, $\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3}$ với $x\geq 0$;
c, $\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$ với $x\geq 0,x\neq 4$;
d, $\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}$ với $x\geq \frac{1}{2}$;
e, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$ với $x\geq 0$;
f, $\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}}+2x$.
Xem lời giải
Câu 4: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:
$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
Từ đó tính tổng S = $\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$.
Xem lời giải
Câu 5: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:
$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}=|1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$
Từ đó tính tổng:
S = $\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2018^{2}}+\frac{1}{2019^{2}}}$.