Giải phát triển năng lực toán 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo)

Giải bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo) - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 26. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học.

1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn 

Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn hoặc trục căn thức ở mẫu:

c, $\frac{-2}{\sqrt{3}}$;                    

d, $\sqrt{\frac{7}{120}}$;

e, $\sqrt{\frac{3x}{5y^{5}}}$ với x.y > 0;

f, $\frac{2x}{\sqrt{-2y}}$ với y < 0.

Hướng dẫn:

c, $\frac{-2}{\sqrt{3}}$ = $\frac{-2\sqrt{3}}{3}$ 

d, $\sqrt{\frac{7}{120}}$ = $\sqrt{\frac{7}{2^{2}.30}}$ = $\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{7}.\sqrt{30}}{2.30}=\frac{\sqrt{210}}{60}$

e, $\sqrt{\frac{3x}{5y^{5}}}$ = $\sqrt{\frac{3x.5y}{5^{2}.y^{6}}}$ = $\frac{\sqrt{15xy}}{\sqrt{5^{2}.y^{6}}}=\frac{\sqrt{15xy}}{5|y^{3}|}=\frac{\sqrt{15xy}}{5y^{3}}$ 

f, $\frac{2x}{\sqrt{-2y}}$ = $\frac{2x.\sqrt{-2y}}{(\sqrt{-2y})^{2}}$ =$\frac{-x.\sqrt{-2y}}{y}$ (với y < 0)

2. Biểu thức liên hợp 

Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu

c, $\frac{3}{\sqrt{7}+2}$;

d, $\frac{9a-b^{2}}{3\sqrt{a}+b}$ với $a\geq 0$ và $a\neq \frac{b^{2}}{9}$;

e, $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$;

f, $\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}$ với $a\geq 0$.

Hướng dẫn:

c, $\frac{3}{\sqrt{7}+2}$ = $\frac{3.(\sqrt{7}-2)}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)}=\frac{3.(\sqrt{7}-2))}{7-4}=\sqrt{7}-2$

d, $\frac{9a-b^{2}}{3\sqrt{a}+b}$ = $\frac{(9a-b^{2})(3\sqrt{a}-b)}{(3\sqrt{a}+b)(3\sqrt{a}-b))}=\frac{(9a-b^{2})(3\sqrt{a}-b)}{9a-b^{2}}=3\sqrt{a}-b$ (với $a\geq 0$ và $a\neq \frac{b^{2}}{9}$)

e, $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}.(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}= \frac{2\sqrt{3}.(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3}=\frac{\sqrt{3}.(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{2}$

f, $\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}$ = $\frac{1.(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}).(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}$ = $\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}{a+1-a}$ = $\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$ (với $a\geq 0$).

Điền vào chỗ chấm để hoàn thành nội dung sau:

Một cách tổng quát:

  • Với các biểu thức A, B, C mà A $\geq $ 0 và A $\neq $ B$^{2}$, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{...........}$.
  • Với các biểu thức A, B, C mà A, B $\geq $ 0 và A $\neq $ B, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}$ = ..................

Hướng dẫn:

Một cách tổng quát:

  • Với các biểu thức A, B, C mà A $\geq $ 0 và A $\neq $ B$^{2}$, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^{2}}$.
  • Với các biểu thức A, B, C mà A, B $\geq $ 0 và A $\neq $ B, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}$ = $\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$.

Bài tập & Lời giải

Câu 1: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a, $\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$;                 b, $\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$;

c, $\frac{1}{2-\sqrt{5}}$;                         d, $\frac{6}{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}}$.

Xem lời giải

Câu 2: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a, $\frac{1}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{3-\sqrt{5}}$;

b, $\frac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{8}{1-\sqrt{5}}$;

c, $\frac{4}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}-3}$;

d, $\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$;

e, $\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}+\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$;

f, $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}$.

Xem lời giải

Câu 3: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a, $\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1$ với $x\geq 0,x\neq 1$;

b, $\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3}$ với $x\geq 0$;

c, $\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$ với $x\geq 0,x\neq 4$;

d, $\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}$ với $x\geq \frac{1}{2}$;

e, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$ với $x\geq 0$;

f, $\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}}+2x$.

Xem lời giải

Câu 4: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.

Từ đó tính tổng S = $\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$.

Xem lời giải

Câu 5: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:

$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}=|1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$

Từ đó tính tổng:

S = $\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2018^{2}}+\frac{1}{2019^{2}}}$.

Xem lời giải

Xem thêm các bài Bài tập phát triển năng lực toán 9, hay khác:

Để học tốt Bài tập phát triển năng lực toán 9, loạt bài giải bài tập Bài tập phát triển năng lực toán 9 đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 9.

Lớp 9 | Để học tốt Lớp 9 | Giải bài tập Lớp 9

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 9, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 9 giúp bạn học tốt hơn.