Giải phát triển năng lực toán 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

1. Cho biểu thức:

P = $(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$.

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

b, Tính giá trị của P khi x = $7-4\sqrt{3}$

c, Tìm tất cả các giá trị của x để $P\geq \frac{2}{3}$

Hướng dẫn:

a, Điều kiện xác định của P: 

$\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\sqrt{x}-1\neq 0 &  & \\ 1-\sqrt{x}\neq 0 &  & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\sqrt{x}\neq 1 &  & \\ \sqrt{x}\neq 1 &  & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\neq 1 &  & \end{matrix}\right.$

Với $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\neq 1 &  & \end{matrix}\right.$ ta có:

P = $(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$

   = $(\frac{x+2}{(\sqrt{x})^{3}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}).\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

   = $(\frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}).\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

   = $\frac{x+2+\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-(x+\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}.\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

   = $\frac{2.(x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)^{2}(x+\sqrt{x}+1)}$

   = $\frac{2.(x-2\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)^{2}(x+\sqrt{x}+1)}$ = $\frac{2.(\sqrt{x}-1)^{2}}{(\sqrt{x}-1)^{2}(x+\sqrt{x}+1)}$ = $\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}$

Vậy P = $\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}$

b, Thay x = $7-4\sqrt{3}$ vào P ta có:

P = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}+1}$ = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+\sqrt{4-4\sqrt{3}+3}+1}$ = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}+1}$

   = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+1}$ = $\frac{2}{10-5\sqrt{3}}$ = $\frac{2}{5.(2-\sqrt{3})}$ = $\frac{2.(2+\sqrt{3})}{5.(2-\sqrt{3}).(2+\sqrt{3})}$ = $\frac{2.(2+\sqrt{3})}{5}$

c, Xét hiệu $P-\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2}{3}$ = $2.(\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3})$

Do $P\geq \frac{2}{3}$ nên $P-\frac{2}{3}\geq 0$ 

=>   $2.(\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3})\geq 0$ <=> $\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3}\geq 0$ <=> $\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\geq \frac{1}{3}$

Vì $x+\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0$ nên

$\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\geq \frac{1}{3}$ <=> $x+\sqrt{x}+1\leq 3 <=>(\sqrt{x-1})(\sqrt{x+2})\leq 0$

<=> $\sqrt{x-1}\leq 0$ <=> $x\leq 1$

Kết hợp với điều kiện xác định => 0 < x < 1

2. Cho hai biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{3\sqrt{x}}{x-25}$ với $x>0, x\neq 25$

a, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 81.

b, Cho P = A.B, chứng minh rằng $P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$.

c, So sánh P và P$^{2}$

Hướng dẫn:

a, Khi x = 81 ta có $A=\frac{\sqrt{81}-5}{\sqrt{81}}$ = $\frac{9-5}{9}$ = $\frac{4}{9}$ 

b, P = A.B = $\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}$.$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{3\sqrt{x}}{x-25}$

        = $1-\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}.\frac{3\sqrt{x}}{x-25}$ = $1-\frac{3(\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$

        = $1-\frac{3}{\sqrt{x}+5}$ = $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$

=> Điều phải chứng minh

c,  P$^{2}$ = $(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5})^{2}$ = $\frac{(\sqrt{x}+2)^{2}}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ 

Ta có P - P$^{2}$ = $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$ - $\frac{(\sqrt{x}+2)^{2}}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ 

                             = $\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}+5)-(\sqrt{x}+2)^{2}}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$

                             = $\frac{3\sqrt{x}+6}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ = $\frac{3(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$

Với $x>0, x\neq 25$ thì $\sqrt{x}+2$ > 0 =>  $\frac{3(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ > 0 => P - P$^{2}$ > 0=> P > P$^{2}$

3. Cho hai biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\geq 0, x\neq 25$

a, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

b, Chứng minh $B=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$ 

c, Tìm tất cả giá trị của x để A = B.|x - 4|

Hướng dẫn:

a, Khi x = 9 thì $A=\frac{\sqrt{9}+2}{\sqrt{9}-5}=\frac{3+2}{3-5}=-\frac{5}{2}$

b, $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ = $\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$

        = $\frac{3.(\sqrt{x}-5)+20-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$ = $\frac{\sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$ = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}$

=> Điều phải chứng minh

c, Với $x\geq 0, x\neq 25$ A = B.|x - 4| <=> $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}.|x - 4|$ <=> $\sqrt{x}+2$ = |x - 4|

+ Trường hợp 1: Nếu $x\geq 4, x\neq 25$ ta có:

$\sqrt{x}+2$ = |x - 4| <=> $\sqrt{x}+2$ = x - 4 <=> $x-\sqrt{x}-6$ = 0 <=> $(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-3)$ = 0

<=> $\sqrt{x}=3$ <=> x = 9 (thỏa mãn) hoặc $\sqrt{x}=-2$ (không thỏa mãn)

+ Trường hợp 2: Nếu $0\geq x<4$ ta có

$\sqrt{x}+2$ = |x - 4| <=> $\sqrt{x}+2$ = 4 - x <=> $x+\sqrt{x}-2$ = 0 <=> $(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)$ = 0

<=> $\sqrt{x}=1$ <=> x = 1 (thỏa mãn) hoặc $\sqrt{x}=-2$ (không thỏa mãn)

Vậy x = 9, x = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.