1. Một cách tổng quát, điền vào chỗ trống để hoàn thành nội dung sau:
- Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là ............................. của A, còn A được gọi là ............................. hay biểu thức dưới dấu căn.
- $\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
Hướng dẫn:
- Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bạc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
- $\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
Áp dụng: Xác định các căn thức bậc hai của các biểu thức đại số dưới đây và tìm điều kiện để mỗi biểu thức tương ứng có nghĩa:
a. A = 3 - 2x b. B = 2x - 5y
c. C = $\frac{x}{x-1}$ d. D = 1 - x$^{2}$
Hướng dẫn:
a. $\sqrt{A}$ = $\sqrt{3 - 2x}$
$\sqrt{A}$ xác định khi: 3 - 2x $\geq $ 0 => x $\leq \frac{2}{3}$
b. $\sqrt{B}$ = $\sqrt{2x - 5y}$
$\sqrt{B}$ xác định khi: 2x - 5y $\geq $ 0 => x $\geq \frac{5y}{2}$
c. $\sqrt{C}$ = $\sqrt{\frac{x}{x-1}}$
$\sqrt{C}$ xác định khi: $\frac{x}{x-1}$ $\geq $ 0 => x > 1 hoặc x $\leq $ 0
d. $\sqrt{D}$ = $\sqrt{1 - x^{2}}$
$\sqrt{D}$ xác định khi $1 - x^{2}\geq $ 0 => $-1\leq x\leq 1$
2. a. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
| a | -4 | -1 | 0 | 1 | $\frac{3}{2}$ | 4 |
| a$^{2}$ | ||||||
| $\sqrt{A}^{2}$ | ||||||
| |a| |
Từ bảng trên, em có rút ra nhận xét gì? Điền vào chỗ chấm để hoàn thành định lí sau:
Định lí: Với mọi số a, ta có $\sqrt{A}^{2}$ = ..............
Hướng dẫn:
| a | -4 | -1 | 0 | 1 | $\frac{3}{2}$ | 4 |
| a$^{2}$ | 16 | 1 | 0 | 1 | $\frac{9}{4}$ | 16 |
| $\sqrt{A}^{2}$ | 4 | 1 | 0 | 1 | $\frac{3}{2}$ | 4 |
| |a| | 4 | 1 | 0 | 1 | $\frac{3}{2}$ | 4 |
Định lí: Với mọi số a, ta có $\sqrt{A}^{2}$ = |a|
Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức sau:
i. $\sqrt{7^{2}}$ ii. $\sqrt{(-3)^{2}}$
iii. $\sqrt{(-4)^{2}}$ - |-12| iv. $\sqrt{|-5^{2}|}$
Hướng dẫn:
i. $\sqrt{7^{2}}$ = |7| = 7
ii. $\sqrt{(-3)^{2}}$ = |-3| = 3
iii. $\sqrt{(-4)^{2}}$ - |-12| = |-4| - |-12| = 4 - 12 = -8
iv. $\sqrt{|-5^{2}|}$ = $\sqrt{5^{2}}$ = |5| = 5
c) Áp dụng: Rút gọn:
i. $\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}$; ii. $\sqrt{|-2|^{2}}$;
iii. $\sqrt{(1-x)^{2}}$ nếu x > 1; iv. $\sqrt{(1-2x)^{4}}$.
Hướng dẫn:
i. $\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}$ = |$2-\sqrt{5}$ = $\sqrt{5} - 2$ (vì 2$^{2}$ = 4 < $(\sqrt{5})^{2}$ = 5 nên 2 < $\sqrt{5}$)
ii. $\sqrt{|-2|^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}}$ = |2| = 2 (vì 2 > 0)
iii. $\sqrt{(1-x)^{2}}$ = |1 - x| = x - 1 (vì nếu x > 1 => 1 - x < 0)
iv. $\sqrt{(1-2x)^{4}}$ = |(1 - 2x)$^{2}$| = (1 - 2x)$^{2}$ (vì bình phương của một số luôn lớn hơn 0)
Bài tập & Lời giải
Câu 1: Trang 15 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa?
a. $\sqrt{x-5}$; b. $\sqrt{-5x}$
c. $\sqrt{18-3x}$ d. $\sqrt{\frac{-5}{2x-4}}$
e. $\sqrt{x^{2}+11}$ f. $\sqrt{x^{2}+5x+6}$
Xem lời giải
Câu 2: Trang 15 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Chứng minh:
a. 6 + 2$\sqrt{5}$ = $(\sqrt{5}+1)^{2}$;
b. 11 - 6$\sqrt{2}$ = $(3-\sqrt{2})^{2}$
c. $\sqrt{52-14\sqrt{3}}=7-\sqrt{3}$
d. $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$
Xem lời giải
Câu 3: Trang 15 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a, $4x - \sqrt{x^{2}-2x+1}$ với $x\geq 1$;
b, $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}-1$ với $x\geq 1$;
c, $\frac{\sqrt{x^{2}+6x+9}}{x+3}$ với $x> -3$;
d, $\sqrt{x-2+4\sqrt{x-6}}-\sqrt{x-2-4\sqrt{x-6}}$ với $x\geq 10$.