2. (Đề kiểm tra chất lượng học kì I, thành phố Thái Bình, năm học 2017 - 2018)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng ($\Delta $) không có điểm chung với đường tròn (O), H là hình chiếu vuông góc của O lên ($\Delta $). Từ điểm M bất kì trên ($\Delta $), M $\neq $ H, vẽ hai tiếp tuyến MA và MB tới đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi K, I theo thứ tự là giao điểm của AB với OM và OH.
a, Chứng minh rằng AB = 2AK và 5 điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh OI.OH = OK.OM = R$^{2}$.
c, Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho AN = 2ON. Đường trung trực của BN cắt OM ở E. Tính tỉ số $\frac{OE}{OM}$.
Bài Làm:
a, MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của đường tròn (O)
=> MA = MB
Mà OA = OB (= bán kính của đường tròn)
=> OM là đường trung trực của AB
=> K là trung điểm của AB hay AB = 2AK
Gọi G là trung điểm của OM
Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông ta có: GA = GO = GM = GB = GH
=> 5 điểm M, A, O, B, H cùng nằm trên một đường tròn tâm G đường kính MO
b, Xét tam giác OKI và tam giác OHM
- Chung $\widehat{KOI}$
- $\widehat{OKI}=\widehat{OHM}=90^{0}$
=> Tam giác OKI đồng dạng với tam giác OHM
=> $\frac{OK}{OH}=\frac{OI}{OM}=\frac{KI}{HM}$
<=> OK.OM = OH.OI (1)
+ Xét tam giác AMO vuông tại A có AK là đường cao
=> OA$^{2}$ = OK.OM (2)
Từ (1) và (2) => OH.OI = OK.OM = OA$^{2}$ = R$^{2}$
c, Ta có OM là đường trung trực của AB và đường trung trực của BN cắt OM tại E nên:
EA = EB và EN = EB
=> EA = EN
=> Tam giác AEN cân tại E
Gọi F là trung điểm của AN thì EF là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác AEN.
=> EF $\perp $ OA mà OA $\perp $ MA (tính chất tiếp tuyến)
=> EF // MA
Xét tam giác OAM có EF // MA nên theo dịnh lí Ta - lét ta có:
$\frac{OE}{OM}=\frac{OF}{OA}$ (*)
Vì AN = 2ON và F là trung điểm của AN nên AF = FN = ON
=> $\frac{OF}{OA}=\frac{2}{3}$ (**)
Từ (*) và (**) => $\frac{OE}{OM}=\frac{2}{3}$