4. (Đề kiểm tra học kì I, tỉnh BÌnh Phước, năm học 2017 - 2018)
Cho đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc đường tròn (A $\neq $ B, A $\neq $ C). Vẽ bán kính OK song song với BA (K và A nằm cùng phía với BC). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C cắt OK ở I, OI cắt AC tại H.
a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
b, Chứng minh rằng IA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c, Cho BC = 30cm, AB = 18cm, tính độ dài OI, IC.
d, Chứng minh rằng CK là phân giác của góc ACI.
Bài Làm:
a, Xét tam giác ABC có:
- AO là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
- AO = $\frac{1}{2}$BC (= bán kính của đường tròn)
=> Tam giác ABC vuông tại A (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
b, + OK // AB và CA $\perp $ AC (Tam giác ABC vuông tại A)
=> OK $\perp $ AC
+ OK cắt AC tại H => H là trung điểm của AC và OH $\perp $ AC
Xét tam giác OAC có OA = OC
=> Tam giác OAC cân tại O
+ OH là đường cao của tam giác cân OAC => OH là đường phân giác của góc AOC.
=> $\widehat{AOH}=\widehat{HOC}$
+ Xét tam giác AOI và tam giác IOC có:
- OA = OC
- OI là cạnh chung
- $\widehat{AOI}=\widehat{IOC}$
=> $\Delta $AOI = $\Delta $IOC
=> $\widehat{OAI}=\widehat{OCI}$
+ IC là tiếp tuyến của đường tròn tại C
=>$\widehat{OCI}=90^{0}$ => $\widehat{OAI}=90^{0}$
=> OA $\perp $ AI tại A
=> IA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.
c, OC = $\frac{1}{2}$BC = 15 cm
+ AC = $\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{30^{2}-18^{2}}=24$ (cm)
+ HC = $\frac{1}{2}$AC = 12 cm
+ OH = $\sqrt{OC^{2}-HC^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$ (cm)
+ cos$\widehat{HOC}=\frac{OH}{OC}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$ = cos$\widehat{IOC}$
+ cos$\widehat{IOC}=\frac{OC}{OI}=\frac{3}{5}=0,6$
=> OI = $\frac{OC}{0,6}=\frac{15}{0,6}=25$ (cm)
+ CI = $\sqrt{OI^{2}-OC^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20$ (cm)
d, Ta có IA và IC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O)
=> IA = IC
Mà OA = OC => OI là đường trung trực của AC
K $\in $ OI => KA = KC
=> Tam giác AKC cân tại K
=> $\widehat{CAK}=\widehat{ACK}$
+ Mà $\widehat{KAC}=\widehat{KCI}$ (góc nội tiếp = góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung đó)
=> $\widehat{ACK}=\widehat{KCI}$
=> CK là phân giác của góc ACI