5. (Đề kiểm tra học kì I, quận 12, Thành phố Hồ Chi Minh, năm học 2017 - 2018)
Cho (O) đường kính AB. Lấy C thuộc (O), gọi E là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt OE ở D.
a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và OE vuông góc với BC.
b, Chứng minh DB là tiếp tuyến của (O).
c, Kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh CB.OC = OD.HC
Bài Làm:
a, Tam giác ACB có:
CO là trung tuyến ứng với cạnh AB
CO = $\frac{1}{2}$AB
=>Tam giác ACB vuông tại C (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
+ E là trung điểm của BC => OE $\perp $ BC (Đường kính và dây của đường tròn)
b, OE là đường trung trực của BC (vì OE đi qua trung điểm và vuông góc với BC)
Mà D $\in $ OE => DC = DB
Xét tam giác COD và tam giác BOD có:
- Cạnh OD chung
- OC = OB (= bán kính của đường tròn)
- DC = DB
=> $\Delta $COD = $\Delta $BOD
=> $\widehat{OCD}=\widehat{OBD}$
+ DC là tiếp tuyến của đường tròn (O) => $\widehat{COD}=90^{0}$
=> $\widehat{OBD}=\widehat{OCD}=90^{0}$
=> DB là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O)
c, CH $\perp $ AB và DB $\perp $ AB
=> CH // DB
=> $\widehat{HCB}=\widehat{EBD}$ (so le trong)
+ Xét tam giác CHB và tam giác EBD có:
- $\widehat{HCB}=\widehat{EBD}$
- $\widehat{CHB}=\widehat{EBD}=90^{0}$
=> $\Delta CHB\sim \Delta EBD$
=> $\widehat{CBH}=\widehat{EDB}$
+ Xét tam giác CHB và tam giác OBD có:
- $\widehat{CBH}=\widehat{EDB}$
- $\widehat{CHB}=\widehat{OBD}=90^{0}$
=> $\Delta CHB\sim \Delta OBD$
=> $\frac{CH}{OB}=\frac{CB}{OD}$
=> CH.OD = OB.CB
Mà OB = OC (= bán kính của đường tròn)
=> CH.OD = OC.CB (đpcm)