Câu 6: Trang 114 - SGK Hình học 11
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi cạnh \(a\) và có \(SA = SB = SC = a\). Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng \((ABCD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\);
b) Tam giác \(SBD\) là tam giác vuông.
Bài Làm:
a) Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)
Theo tính chất của hình thoi thì \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\)
Tam giác cân \(SAC\) có $SA=SC(gt)$
=> $\Delta SAC$ cân tại \(S\) có \(SO\) vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
=> \(SO\bot AC\) (1)
Mặt khác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
$\left.\begin{matrix} SO& \perp AC \\ BD& \perp AC \\ SO& \cap BD \end{matrix}\right\}\Rightarrow AC\perp (SBD)$
mà \(AC\subset (ABCD)\Rightarrow (ABCD)\bot (SBD)\)
b) Xét $\Delta SAC và \Delta BAC$ có:
$AC chung$
$SA=AB(=a);SC=BC=(a)$
=> \(∆SAC = ∆BAC (c.c.c)\)
Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
=> \(SO = BO\)
Vì \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(OB=OD={1\over 2}.BD\)
Suy ra \(SO={1\over 2} .BD\)
=> Tam giác \(SBD\) vuông tại \(S\) (Đường trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông)