Câu 11: Trang 114 - SGK Hình học 11
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi tâm \(I\) cạnh \(a\) và có góc \(A\) bằng \(60^{0},\) cạnh \(SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}\) và \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).
a) Chứng minh mặt phẳng \((SBD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).
b) Trong tam giác \(SCA\) kẻ \(IK\) vuông góc với $SA$ tại $K$. Hãy tính độ dài \(IK\)
c) Chứng minh \(\widehat{BKD}=90^{0}\) và từ đó suy ra mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAD)\).
Bài Làm:
a) \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) suy ra \(SC\bot BD\) (1)
\(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BD ⊥ (SAC)\)
\(BD\subset (SBD)\Rightarrow (SBD) ⊥ (SAC)\).
b) Xét tam giác vuông \(ABI\) có: $cos\widehat{IAB}=\frac{AI}{AB}=>AI=AB.cos\widehat{IAB}=AB.\frac{1}{2}.\widehat{IAB}$
=> \(AI=AB.\cos 30^0={{a\sqrt 3 } \over 2}\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt 3 \)
Xét tam giác vuông \(SAC\) có: \(SA=\sqrt {A{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{6{a^2}} \over 4}} =\frac{3a}{\sqrt{2}}.\)
Hai tam giác vuông \(SCA\) và \(IKA\) có:
$\widehat{A} chung$, $\widehat{C}=\widehat{K}=90^0$
=> $\Delta SCA \sim \Delta IKA (g-g)$
=> \(\frac{IK}{SC}=\frac{AI}{AS}\Rightarrow IK=\frac{AI.SC}{AS}=\frac{a}{2}.\)
c) \(IK = IB = ID = \frac{a}{2}\) nên tam giác \(BKD\) vuông tại \(K\). (tam giác có trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì tam giác đó vuông)
Vậy \(\widehat{BKD}=90^{0}.\)
Ta có: \(SA\) vuông góc với \(BD\) (do $BD\perp (SAC)-cmt$) và $SA \perp IK (gt)$ nên \(SA ⊥ (DKB)\) => $SA \perp DK$.
Vì: \(DK\) và \(BK\) cùng vuông góc với \(SA\). Vậy góc \(\widehat {BKD}\) là góc giữa \((SAD)\) và \((SAB)\) và \(\widehat{BKD}=90^{0}\) \(\Rightarrow (SAD) ⊥ (SAB)\).